Có bao nhiêu cấp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số

Câu hỏi số 940993:

Thông hiểu

Có bao nhiêu cấp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số hạng đầu là số lẻ, tổng các số hạng có giá trị lẻ bằng $88$ và tổng các số hạng có giá trị chẵn bằng $66$ (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 9

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:940993

Phương pháp giải

Chia hai trường hợp

TH1: Nếu dãy số có chẵn số hạng tức là có dạng: ${u_1};{u_2};...;{u_{2n-1}};{u_{2n}}$

TH2: Nếu dãy số có lẻ số hạng tức là dãy số tổng quát là: ${u_1};{u_2};...;{u_{2n}};{u_{2n + 1}}$

Áp dụng công thức tổng cấp số cộng tìm công sai d

Giải chi tiết

TH1: Dãy số có lẻ số hạng tức là ${u_1};{u_2};...;{u_{2n + 1}}$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} + ... + {u_{2n + 1}} = 88\\{u_2} + {u_4} + ... + {u_{2n}} = 66\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + {u_{2n + 1}}} \right).\dfrac{{n + 1}}{2} = 88\\\left( {{u_2} + {u_{2n}}} \right).\dfrac{n}{2} = 66\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{n + 1}}{n} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow n = 3\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {u_1} + {u_7} = 44\\ \Rightarrow {u_1} + 3d = 22\end{array}$

Ta có: $u_1 = 22 - 3d$.

Vì $u_1$ là số tự nhiên lẻ $\Rightarrow 22 - 3d$ phải là số lẻ $\Rightarrow 3d$ lẻ $\Rightarrow \mathbf{d}$ phải là số nguyên lẻ.

Vì các số hạng là số tự nhiên nên số hạng cuối cùng cũng phải $\ge 0$:

$u_7 \ge 0 \Leftrightarrow u_1 + 6d \ge 0 \Leftrightarrow (22 - 3d) + 6d \ge 0 \Leftrightarrow 3d \ge -22 \Leftrightarrow d \ge -7,33$.

Mặt khác $u_1 \ge 0 \Rightarrow 22 - 3d \ge 0 \Rightarrow d \le 7,33$.

Kết hợp lại: $-7,33 \le d \le 7,33$ và $d$ lẻ. Khi đó ta mới tự tin suy ra $d \in \{\pm 1; \pm 3; \pm 5; \pm 7\}$ (có 8 giá trị thoả mãn, tương ứng với 8 dãy).

Vậy có 8 dãy thoả mãn

TH2: Dãy số có chẵn số hạng tức là ${u_1};{u_2};...;{u_{2n}}$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} + ... + {u_{2n - 1}} = 88\\{u_2} + {u_4} + ... + {u_{2n}} = 66\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + {u_{2n - 1}}} \right).\dfrac{n}{2} = 88\\\left( {{u_2} + {u_{2n}}} \right).\dfrac{n}{2} = 66\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2d.\dfrac{n}{2} = - 22 \Rightarrow nd = - 22\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d = - 11 \Rightarrow n = 2 \Rightarrow {u_1} + {u_3} = 88\\ \Rightarrow {u_1} + {u_1} + 2d = 88 \Rightarrow {u_1} = 55\end{array}$

Khi đó dãy số là 55; 44; 33; 22

Vậy có tất cả 9 cấp số cộng thoả mãn

Đáp án cần điền là: 9

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.