Cho tứ diện ABCD có $\widehat{BAC} = 30^{{^\circ}}$, $\widehat{CAD} = \widehat{DAB} = 60^{{^\circ}}$. Gọi

Câu hỏi số 958519:

Vận dụng

Cho tứ diện ABCD có $\widehat{BAC} = 30^{{^\circ}}$, $\widehat{CAD} = \widehat{DAB} = 60^{{^\circ}}$. Gọi $\alpha = \lbrack B;AD;C\rbrack$ thì giá trị của $\cos\alpha$ bằng bao nhiêu?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:958519

Phương pháp giải

Dựng góc nhị diện của góc nhị diện [B, AD, C].

Áp dụng định lý cosin trong tam giác để tính toán các cạnh và tìm $\cos\alpha$.

Giải chi tiết

Giả sử $AB = AC = 1$. Trong mặt phẳng $(ABD)$, kẻ $BH\bot AD$ tại $H$

Xét tam giác ABH vuông tại H có $\widehat{BAH} = 60^{{^\circ}}$:

$AH = AB \cdot \cos 60^{{^\circ}} = \dfrac{1}{2}$, $BH = AB \cdot \sin 60^{{^\circ}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Trong mặt phẳng $(ACD)$, xét tam giác ACH có $AC = 1$,$AH = \dfrac{1}{2}$ và $\widehat {CAD} = {60^\circ }$

$ \Rightarrow C{H^2} = A{C^2} + A{H^2} - 2AC.AH.\cos CAH = \dfrac{3}{4}$

$ \Rightarrow C{H^2} = A{C^2} + A{H^2}$ nên $\Delta ACH$ vuông tại H suy ra $CH \bot AD$ tại $H$

Khi đó góc nhị diện $\lbrack B,AD,C\rbrack = \widehat{BHC} = \alpha$, có $BH = CH = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác ABC có $AB = 1,AC = 1$ và $\widehat{BAC} = 30^{{^\circ}}$

Áp dụng định lý cosin, có

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 30^{{^\circ}}$$= 2 - \sqrt{3}$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BHC:

$BC^{2} = BH^{2} + CH^{2} - 2 \cdot BH \cdot CH \cdot \cos\alpha$

$\left. \Leftrightarrow 2 - \sqrt{3} = \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2} - 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\alpha \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2 - \sqrt{3} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2} \cdot \cos\alpha \right.$$\left. \Rightarrow\cos\alpha = \dfrac{2\sqrt{3} - 1}{3} \approx 0,82 \right.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.