Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Một chiếc đồng hồ treo tường cao cấp được thiết kế có phần ở giữa (phần tô

Câu hỏi số 965856:
Vận dụng

Một chiếc đồng hồ treo tường cao cấp được thiết kế có phần ở giữa (phần tô đậm) dát vàng. Lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ có cạnh bằng $4 \text{ cm}$. Vẽ parabol $(C_1)$ tiếp xúc với các đường thẳng $OA$, $OB$ lần lượt tại $A$ và $B$; tương tự vẽ parabol $(C_2)$ tiếp xúc với $OB, OC$ tại $B$ và $C$;... ; parabol $(C_6)$ tiếp xúc với $OF, OA$ tại $F$ và $A$. Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi sáu parabol đó chính là phần được dát vàng.

Để tính diện tích phần dát vàng, một học sinh chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ $O$ trùng với tâm của lục giác đều, trục tung $Oy$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, điểm $A$ nằm bên phải trục tung (hoành độ dương).

Đúng Sai
a) Tọa độ của điểm $A$ trong hệ trục tọa độ $Oxy$ đã chọn là $A(2; 2\sqrt{3})$.
b) Tiếp tuyến của parabol $(C_1)$ tại điểm $A$ có hệ số góc bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
c) Parabol $(C_1)$ có phương trình là $y = \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2 + \sqrt{3}$.
d) Diện tích toàn bộ phần dát vàng của chiếc đồng hồ được tính bằng công thức $S = 6 \int_{-2}^{2} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2 + \sqrt{3} - \sqrt{3}x \right) dx$.

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:965856
Phương pháp giải

Do tính đối xứng của hình lục giác đều, diện tích hình $(H)$ gấp 6 lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi một cung parabol và hai bán kính tương ứng (ví dụ cung AB và các đoạn OA, OB).

Thiết lập hệ trục tọa độ thích hợp để tìm phương trình parabol và tính diện tích bằng ứng dụng tích phân.

Giải chi tiết

a) Đúng. Lục giác đều có cạnh bằng 4 nên tam giác $OAB$ là tam giác đều cạnh bằng 4.

Trục $Oy$ là đường trung trực của $AB$ nên $Oy$ đồng thời là đường cao của tam giác đều $OAB$.

Chiều cao của tam giác đều cạnh 4 là $h = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

Đây cũng chính là tung độ của $A$ và $B$.

Khoảng cách từ $A, B$ đến $Oy$ bằng $\dfrac{AB}{2} = 2$.

Do $A$ nằm bên phải trục tung nên hoành độ của $A$ là $2$.

Vậy tọa độ các điểm là $A(2; 2\sqrt{3})$ và $B(-2; 2\sqrt{3})$.

b) Sai. Theo giả thiết, parabol $(C_1)$ tiếp xúc với đường thẳng $OA$ tại $A$.

Do đó, đường thẳng $OA$ chính là tiếp tuyến của parabol $(C_1)$ tại điểm $A$.

Đường thẳng $OA$ đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$ và điểm $A(2; 2\sqrt{3})$ nên hệ số góc của nó được tính bằng công thức: $k = \frac{y_A - y_O}{x_A - x_O} = \dfrac{2\sqrt{3} - 0}{2 - 0} = \sqrt{3}$.

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ phải bằng $\sqrt{3}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

c) Đúng. 

Vì $(C_1)$ đi qua hai điểm $A(2; 2\sqrt{3})$ và $B(-2; 2\sqrt{3})$ đối xứng nhau qua $Oy$, nên $(C_1)$ nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

Gọi phương trình parabol $(C_1)$ có dạng: $y = ax^2 + c \ (a \neq 0)$.

Điểm $A(2; 2\sqrt{3}) \in (C_1) \Rightarrow a.2^2 + c = 2\sqrt{3} \Leftrightarrow 4a + c = 2\sqrt{3}$ (1).

Đạo hàm: $y' = 2ax$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ là $y'(2) = 4a$.

Theo chứng minh ở ý b, hệ số góc này bằng $\sqrt{3} \Rightarrow 4a = \sqrt{3} \Rightarrow a = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$.

Thay $a$ vào (1) ta được: $\sqrt{3} + c = 2\sqrt{3} \Rightarrow c = \sqrt{3}$.

Vậy phương trình parabol $(C_1)$ là: $y = \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2 + \sqrt{3}$.

d) Sai. 

Do tính đối xứng, diện tích toàn bộ phần dát vàng $S$ gấp 6 lần diện tích $S_1$ của phần hình phẳng giới hạn bởi parabol $(C_1)$ và hai đoạn thẳng $OA, OB$.

Phương trình đường thẳng $OA$ (đi qua $O$ và $A$): $y = \sqrt{3}x$ (áp dụng cho đoạn $x \in [0; 2]$).

Phương trình đường thẳng $OB$ (đi qua $O$ và $B$): $y = -\sqrt{3}x$ (áp dụng cho đoạn $x \in [-2; 0]$).

Do ranh giới phía dưới của hình phẳng bị gãy khúc tại $x = 0$ (đổi từ đường $OB$ sang đường $OA$), ta không thể dùng chung một phương trình đường thẳng $-\sqrt{3}x$ hay $\sqrt{3}x$ cho toàn bộ đoạn $[-2; 2]$.

Công thức đúng để tính tổng diện tích phải là:

$S = 6 \left[ \int_{-2}^{0} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2 + \sqrt{3} - (-\sqrt{3}x) \right) dx + \int_{0}^{2} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2 + \sqrt{3} - \sqrt{3}x \right) dx \right]$

Hoặc do tính đối xứng qua trục $Oy$, ta có thể rút gọn thành:

$S = 12 \int_{0}^{2} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2 + \sqrt{3} - \sqrt{3}x \right) dx$.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn