Cho tập $X = \{1; 2; \dots; 9\}$. Chọn ngẫu nhiên 4 số phân biệt, rồi đặt 1 số đặt

Câu hỏi số 968595:

Vận dụng

Cho tập $X = \{1; 2; \dots; 9\}$. Chọn ngẫu nhiên 4 số phân biệt, rồi đặt 1 số đặt vào vòng tròn lớn, 3 số còn lại vào ba vòng tròn nhỏ. Gọi P là xác suất để tổng các số tự nhiên trên hai vòng nhỏ bất kỳ luôn bé hơn số tự nhiên ở vòng lớn chính giữa, đồng thời tổng cả ba số tự nhiên trên vòng tròn nhỏ luôn lớn hơn số tự nhiên ở vòng tròn lớn (biết rằng hai cách xếp được gọi là giống nhau khi xoay tam giác quanh tâm đường tròn lớn một góc nào đó thì được các số giống nhau nằm cùng vị trí). Giá trị $250236P$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968595

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định không gian mẫu chú ý yếu tố đối xứng (hoán vị vòng quanh tính bằng $(n-1)!$).

Bước 2: Đặt ẩn và giả sử thứ tự $a < b < c$ để chuyển hóa ngôn ngữ thành bất đẳng thức chốt: $b+c < L < a+b+c$.

Bước 3: Chọn biến L (số ở giữa) làm trụ, xét từ giá trị lớn xuống bé để chặn khoảng và vét cạn các bộ số thỏa mãn.

Bước 4: Lấy số bộ số tìm được nhân với số cách xếp (hoán vị vòng quanh) để ra biến cố thuận lợi và tính xác suất.

Giải chi tiết

Chọn 1 số trong 9 số của tập X để đặt vào vòng tròn lớn chính giữa: có 9 cách.

Chọn 3 số trong 8 số còn lại để xếp vào 3 vòng tròn nhỏ: có $C_8^3$ cách.

Do đề bài quy định hai cách xếp được coi là giống nhau khi xoay tam giác quanh tâm một góc nào đó, nên việc xếp 3 số vào 3 vòng tròn nhỏ ở các đỉnh tam giác bản chất là bài toán hoán vị vòng quanh. Số cách xếp 3 số này là: $(3 - 1)! = 2! = 2$ (cách).

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = 9 \times C_8^3 \times 2! = 9 \times 56 \times 2 = 1008 $ cách

Gọi số ở vòng tròn chính giữa là L, ba số xếp ở ba vòng tròn nhỏ là a, b, c.

Vì các số được chọn là phân biệt nên không mất tính tổng quát, ta giả sử $a < b < c$.

Theo bài ra, ta có hệ điều kiện:

Tổng hai số bất kỳ ở vòng nhỏ luôn bé hơn số ở vòng lớn:

Do $a < b < c$ nên ta chỉ cần tổng hai số lớn nhất bé hơn L, tức là $b + c < L$.

Tổng ba số ở vòng nhỏ luôn lớn hơn số ở vòng lớn: $a + b + c > L$.

Suy ra điều kiện chặn của bài toán là: $\boxed{b + c < L < a + b + c}$

Vì $a, b, c \in X \setminus \{L\}$ nên ta xét các trường hợp của $L$:

Trường hợp 1: $L = 9$.

Điều kiện trở thành: $b + c < 9$ và $a + b + c > 9 \Rightarrow b + c \le 8$ và $a + b + c \ge 10$.

Vì $a < b < c \le 8$, ta tìm được bộ ba số duy nhất thỏa mãn là $\{a; b; c\} = \{2; 3; 5\}$.

Trường hợp 2: $L = 8$.

Điều kiện trở thành: $b + c < 8$ và $a + b + c > 8 \Rightarrow b + c \le 7$ và $a + b + c \ge 9$.

Vì $a < b < c \le 7$, ta tìm được bộ ba số duy nhất thỏa mãn là $\{a; b; c\} = \{2; 3; 4\}$.

Trường hợp 3: $L \le 7$.

Ta có $b + c < L \le 7 \Rightarrow b + c \le 6$.

Bộ ba số phân biệt nhỏ nhất có tổng hai số lớn nhất $\le 6$ là $\{1; 2; 3\}$ hoặc $\{1; 2; 4\}$.

Nếu $\{a; b; c\} = \{1; 2; 3\}$ thì $b + c = 5 < L \Rightarrow L \in \{6; 7\}$.

Tuy nhiên lúc này tổng ba số $a + b + c = 6 \le L$ (không thỏa mãn $a + b + c > L$).

Nếu $\{a; b; c\} = \{1; 2; 4\}$ thì $b + c = 6 < L \Rightarrow L = 7$.

Tuy nhiên lúc này tổng ba số $a + b + c = 7 \le L$ (không thỏa mãn $a + b + c > L$).

Do đó, trường hợp $L \le 7$ không có bộ số nào thỏa mãn.

Như vậy, ta tìm được đúng 2 bộ số tập hợp thỏa mãn yêu cầu là $(L; \{a, b, c\}) = (9; \{2, 3; 5\})$ và $(8; \{2; 3; 4\})$.

Với mỗi bộ số tìm được, số cách sắp xếp 3 số ở vòng tròn nhỏ theo hoán vị vòng quanh là $2! = 2$ cách.

Số phần tử của biến cố thuận lợi là:

n(A) = 2 \text{ bộ} \times 2! = 4 \text{ (cách).}

Xác suất cần tìm là: $P = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{4}{1008} = \dfrac{1}{252}$

Vậy giá trị của $250236P$ là: $250236 \times \dfrac{1}{252} = 993.$

Đáp án cần điền là: 993

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.