Biết phương trình $x^{2} - 3x - 6 = 0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$. Không giải phương trình, tính giá

Câu hỏi số 969965:

Vận dụng

Biết phương trình $x^{2} - 3x - 6 = 0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $T = \dfrac{2x_{1}}{x_{2} + 1} + \dfrac{2x_{2}}{x_{1} + 1}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:969965

Phương pháp giải

Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính tổng và tích hai nghiệm, sau đó biến đổi biểu thức cần tính theo tổng và tích đó.

Giải chi tiết

Phương trình $x^{2} - 3x - 6 = 0$ có $a = 1,b = - 3,c = - 6$.

Vì $\Delta = b^{2} - 4ac = \left( {- 3} \right)^{2} - 4.\left( {- 6} \right) = 33 > 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} = 3} \\ {x_{1} \cdot x_{2} = \dfrac{c}{a} = - 6} \end{array} \right.$

$T = \dfrac{2x_{1}}{x_{2} + 1} + \dfrac{2x_{2}}{x_{1} + 1} = 2\left( \dfrac{x_{1}(x_{1} + 1) + x_{2}(x_{2} + 1)}{(x_{2} + 1)(x_{1} + 1)} \right)$

$= 2 \cdot \dfrac{x_{1}^{2} + x_{1} + x_{2}^{2} + x_{2}}{x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1} = 2 \cdot \dfrac{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + (x_{1} + x_{2})}{x_{1}x_{2} + (x_{1} + x_{2}) + 1}$

$= 2 \cdot \dfrac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2x_{1}x_{2} + (x_{1} + x_{2})}{x_{1}x_{2} + (x_{1} + x_{2}) + 1}$

Thay $x_{1} + x_{2} = 3$ và $x_{1}x_{2} = - 6$ vào $T$:

$T = 2 \cdot \dfrac{3^{2} - 2( - 6) + 3}{- 6 + 3 + 1} = 2 \cdot \dfrac{9 + 12 + 3}{- 2}$$= - 24$

Vậy giá trị của biểu thức $T = - 24$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link