Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{1} = 1$ và $u_{n + 1} = \dfrac{n + 2}{n + 1}u_{n} + 2n + 4$ với mọi

Câu hỏi số 970542:

Vận dụng

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{1} = 1$ và $u_{n + 1} = \dfrac{n + 2}{n + 1}u_{n} + 2n + 4$ với mọi $n \in {\mathbb{N}}^{*}$. Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất sao cho $u_{m} > 10^{6}$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 707

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970542

Phương pháp giải

Biến đổi hệ thức truy hồi của dãy số để đưa về dạng cấp số cộng bằng cách đặt ẩn phụ.

Tìm công thức số hạng tổng quát $u_{n}$ của dãy số.

Giải bất phương trình $u_{m} > 10^{6}$ với $m \in {\mathbb{N}}^{*}$ để tìm giá trị $m$ nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Ta có hệ thức truy hồi: $u_{n + 1} = \dfrac{n + 2}{n + 1}u_{n} + 2n + 4 = \dfrac{n + 2}{n + 1}u_{n} + 2(n + 2)$

Chia cả hai vế của phương trình cho $(n + 2)$, ta được: $\dfrac{u_{n + 1}}{n + 2} = \dfrac{u_{n}}{n + 1} + 2$

Đặt $v_{n} = \dfrac{u_{n}}{n + 1}$. Khi đó, ta có hệ thức: $v_{n + 1} = v_{n} + 2$

Đây là hệ thức của một cấp số cộng với số hạng đầu $v_{1} = \dfrac{u_{1}}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$ và công sai $d = 2$.

Số hạng tổng quát của dãy số $(v_{n})$ là:

$v_{n} = v_{1} + (n - 1)d = \dfrac{1}{2} + (n - 1)2 = 2n - \dfrac{3}{2} = \dfrac{4n - 3}{2}$

Từ đó, ta tìm được số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$:

$u_{n} = (n + 1)v_{n} = \dfrac{(n + 1)(4n - 3)}{2}$

Yêu cầu bài toán là tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất sao cho $u_{m} > 10^{6}$:

$\dfrac{(m + 1)(4m - 3)}{2} > 10^{6}$

$\left. \Leftrightarrow(m + 1)(4m - 3) > 2.000.000 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4m^{2} + m - 3 > 2.000.000 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4m^{2} + m - 2.000.003 > 0 \right.$

Xét phương trình bậc hai $4m^{2} + m - 2.000.003 = 0$, ta có các nghiệm ${m_1} \approx 706,98;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {m_2} \approx - 707,23$

Vì $m$ là số nguyên dương nên ta chọn $m > 706,98$.

Giá trị nguyên dương $m$ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện là $m = 707$.

Với $m = 706$: $u_{706} = \dfrac{(706 + 1)(4 \cdot 706 - 3)}{2} = 997.223,5 < 10^{6}$.

Với $m = 707$: $u_{707} = \dfrac{(707 + 1)(4 \cdot 707 - 3)}{2} = 1.000.050 > 10^{6}$.

Đáp án cần điền là: 707

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.