Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là giao điểm của hai tia BA và CD, N là giao

Câu hỏi số 971705:

Vận dụng

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là giao điểm của hai tia BA và CD, N là giao điểm của hai tia DA và CB. Biết rằng $\angle BAD = 120^{{^\circ}}$ và $\angle AMD = 2 \cdot \angle ANB$. Tính số đo góc $\angle ANB$?

A. $40^{{^\circ}}$.

B. $20^{{^\circ}}$.

C. $120^{{^\circ}}$.

D. $60^{{^\circ}}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:971705

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất tứ giác nội tiếp: tổng hai góc đối diện bằng $180^{{^\circ}}$.

Sử dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác để biểu diễn góc $\angle AMD$ và $\angle ANB$ theo một góc của tứ giác.

Giải chi tiết

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên $\angle BAD + \angle BCD = 180^{{^\circ}}$.

Suy ra $\angle BCD = 180^{{^\circ}} - 120^{{^\circ}} = 60^{{^\circ}}$.

Mặt khác, góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong tại đỉnh đối diện, nên $\angle ABC + \angle ADC = 180^{{^\circ}}$.

Xét $\Delta MBC$ có tổng ba góc bằng $180^{{^\circ}}$:

$\angle AMD + \angle MBC + \angle MCB = 180^{{^\circ}}$ hay $\angle AMD + \angle ABC + 60^{{^\circ}} = 180^{{^\circ}}$.

Suy ra $\angle AMD = 120^{{^\circ}} - \angle ABC$ (1).

Xét $\Delta NDC$ có tổng ba góc bằng $180^{{^\circ}}$:

$\angle ANB + \angle NDC + \angle NCD = 180^{{^\circ}}$ hay $\angle ANB + \angle ADC + 60^{{^\circ}} = 180^{{^\circ}}$.

Thay $\angle ADC = 180^{{^\circ}} - \angle ABC$, ta được:

$\angle ANB + 180^{{^\circ}} - \angle ABC + 60^{{^\circ}} = 180^{{^\circ}}$.

Suy ra $\angle ANB = \angle ABC - 60^{{^\circ}}$ (2).

Theo giả thiết, $\angle AMD = 2 \cdot \angle ANB$. Thay (1) và (2) vào, ta có:

$120^{{^\circ}} - \angle ABC = 2 \cdot (\angle ABC - 60^{{^\circ}})$

$\left. \Leftrightarrow 120^{{^\circ}} - \angle ABC = 2 \cdot \angle ABC - 120^{{^\circ}} \right.$

$\left. \Leftrightarrow 3 \cdot \angle ABC = 240^{{^\circ}} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\angle ABC = 80^{{^\circ}} \right.$.

Thay $\angle ABC = 80^{{^\circ}}$ vào (2), ta tìm được:

$\angle ANB = 80^{{^\circ}} - 60^{{^\circ}} = 20^{{^\circ}}$.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link