Trong một buổi thử nghiệm bay, hai thiết bị bay không người lái (drone) duy trì vị
Trong một buổi thử nghiệm bay, hai thiết bị bay không người lái (drone) duy trì vị trí trên cùng một trục thẳng đứng. Để đánh giá hệ thống cảm biến tránh va chạm, người ta cho hai drone thay đổi độ cao liên tục.
Tại thời điểm $t$ (giây), với $t \geq 0$, độ cao của drone trên (drone B) và drone dưới (drone A) so với mặt đất được mô hình hóa lần lượt bởi các hàm số:
$h(t) = 20 + t^{2}e^{- 0,5t}\text{(m)}$
$f(t) = 15 + (4t - 4)e^{- 0,5t}\text{(m)}$
Gọi $d(t)$ là khoảng cách theo phương thẳng đứng từ drone B đến drone A (giả định vị trí drone B luôn cao hơn drone A).
Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:
Biết rằng nếu khoảng cách $d(t)$ nhỏ hơn 5,2 m, hệ thống an toàn của drone sẽ tự động phát cảnh báo nguy cơ va chạm. Căn cứ mô tả của đề bài, hãy xác định giá trị nhỏ nhất (làm tròn đến hàng phần trăm) của $d(t)$ trên khoảng thời gian khảo sát $t \in \lbrack 0;10\rbrack$ và trạng thái tương ứng của hệ thống?
Đáp án đúng là: B
Thiết lập hàm khoảng cách $d(t) = h(t) - f(t)$.
Tính đạo hàm $d'(t)$, giải phương trình $d'(t) = 0$ để tìm các điểm tới hạn.
Đánh giá các giá trị trên khoảng [0; 10] để tìm giá trị nhỏ nhất.
So sánh kết quả với ngưỡng 5,2 m để kết luận trạng thái.
Ta có hàm khoảng cách:
$d(t) = h(t) - f(t) = \left( {20 + t^{2}e^{- 0,5t}} \right) - \left( {15 + (4t - 4)e^{- 0,5t}} \right)$
$d(t) = 5 + (t^{2} - 4t + 4)e^{- 0,5t} = 5 + {(t - 2)}^{2}e^{- 0,5t}$
Khi đó $d'(t) = 2(t - 2)e^{- 0,5t} - 0,5{(t - 2)}^{2}e^{- 0,5t}$
$d'(t) = e^{- 0,5t}(t - 2)\left\lbrack {2 - 0,5(t - 2)} \right\rbrack = 0,5e^{- 0,5t}(t - 2)(6 - t)$
Cho $\left. d'(t) = 0\Leftrightarrow t = 2 \right.$ hoặc $t = 6$.
Tính các giá trị trên khoảng [0; 10]:
Tại $t = 0$: $d(0) = 5 + {( - 2)}^{2}e^{0} = 9$ (m)
Tại $t = 2$: $d(2) = 5 + 0 = 5$ (m)
Tại $t = 6$: $d(6) = 5 + 16e^{- 3} \approx 5,80$ (m)
Tại $t = 10$: $d(10) = 5 + 64e^{- 5} \approx 5,43$ (m)
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của $d(t)$ trên đoạn khảo sát là 5,00 m (đạt được tại $t = 2$).
Vì khoảng cách này nhỏ hơn ngưỡng an toàn (5,00 m < 5,2 m), hệ thống sẽ tự động phát cảnh báo nguy cơ va chạm.
Đáp án cần chọn là: B
Tại thời điểm bắt đầu quan sát ($t = 0$), chênh lệch độ cao giữa drone B và drone A là:
Đáp án đúng là: C
Thay thời điểm $t = 0$ vào hàm khoảng cách $d(t)$ để tính chênh lệch độ cao ban đầu.
Đáp án cần chọn là: C
Để đánh giá độ nhạy của cảm biến, người chỉ huy cần xác định thời điểm $t_{\alpha}$ khi tốc độ thay đổi khoảng cách $v(t) = d'(t)$ đạt giá trị lớn nhất lần đầu tiên (đơn vị: giây, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Giá trị của $t_{\alpha}$ bằng:
Đáp án đúng là: A
Tìm giá trị lớn nhất của hàm $v(t)$ bằng cách giải phương trình $v'(t) = 0$ (tương đương đạo hàm bậc hai $d^{''}(t) = 0$).
Xét dấu để xác định thời điểm cực đại.
Hàm tốc độ thay đổi khoảng cách là: $v(t) = d'(t) = 0,5e^{- 0,5t}( - t^{2} + 8t - 12)$
Tính đạo hàm $v'(t)$:
$v'(t) = - 0,25e^{- 0,5t}( - t^{2} + 8t - 12) + 0,5e^{- 0,5t}( - 2t + 8)$
$v'(t) = 0,25e^{- 0,5t}\left\lbrack {- ( - t^{2} + 8t - 12) + 2( - 2t + 8)} \right\rbrack$
$v'(t) = 0,25e^{- 0,5t}(t^{2} - 8t + 12 - 4t + 16)$
$v'(t) = 0,25e^{- 0,5t}(t^{2} - 12t + 28)$
Cho $\left. v'(t) = 0\Leftrightarrow t^{2} - 12t + 28 = 0 \right.$ $\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t_{1} = 6 - 2\sqrt{2} \approx 3,17} \\ {t_{2} = 6 + 2\sqrt{2} \approx 8,83} \end{array} \right. \right.$
Xét dấu $v'(t)$:
Với $0 \leq t < 3,17$, ta có $\left. v'(t) > 0\Rightarrow v(t) \right.$ đồng biến.
Với $3,17 < t < 8,83$, ta có $\left. v'(t) < 0\Rightarrow v(t) \right.$ nghịch biến.
Với $t > 8,83$, ta có $\left. v'(t) > 0\Rightarrow v(t) \right.$ đồng biến.
Do đó, $v(t)$ tăng lên và đạt giá trị lớn nhất (cực đại) lần đầu tiên tại thời điểm $t_{\alpha} = 6 - 2\sqrt{2} \approx 3,17$ giây.
Đáp án cần chọn là: A
Quảng cáo
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
