Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y

Câu hỏi số 973153:

Vận dụng

Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^{2} + mx + m^{2}}{x - 1}$ có hai điểm cực trị A, B. Khi $\angle AOB = 90^{{^\circ}}$ thì tổng bình phương tất cả các phần tử của S bằng:

A. $\dfrac{1}{16}$

B. 8

C. $\dfrac{1}{8}$

D. 16

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:973153

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{A},x_{B}$. Sử dụng hệ thức Vi-ét để tìm m

Giải chi tiết

$y' = \dfrac{(2x + m)(x - 1) - x^{2} - mx - m^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \dfrac{x^{2} - 2x - \left( {m + m^{2}} \right)}{{(x - 1)}^{2}}$

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B thì $y' = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt khác 1

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\Delta' = 1 + m + m^{2} > 0} \\ {- 1 - m - m^{2} \neq 0} \end{array}\Leftrightarrow\forall m \in {\mathbb{R}}. \right. \right.$

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là $y_{A} = 2x + m$.

Gọi $x_{A};x_{B}$ là hoành độ của A, B khi đó $x_{A};x_{B}$ là nghiệm của $x^{2} - 2x - \left( {m + m^{2}} \right) = 0$.

Theo định li Viet ta có $x_{A} + x_{B} = 2;x_{A}.x_{B} = - m^{2} - m$.

$\begin{array}{l} {y_{A} = 2x_{A} + m;y_{B} = 2x_{B} + m.} \\ \left. \angle AOB = 90^{0}\Rightarrow x_{A}.x_{B} + y_{A}.y_{B} = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow x_{A}x_{B} + 4x_{A}x_{B} + 2m\left( {x_{A} + x_{B}} \right) + m^{2} = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 5\left( {- m^{2} - m} \right) + 4m + m^{2} = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\ \ - 4m^{2} - m = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow m = 0;m = - \dfrac{1}{4} \right. \end{array}$

Để tồn tại góc $\angle AOB$ thì các điểm A, O, B phải phân biệt (không có điểm nào trùng gốc tọa độ O).

Nếu $m = 0$, ta có phương trình hoành độ cực trị là $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Với $x = 0$ thì $y = \dfrac{0^2+0+0}{0-1} = 0 \Rightarrow A(0, 0) \equiv O$.

Khi đó góc $\angle AOB$ không xác định được. Do đó loại $m = 0$.

Suy ra $S = \left \{-\dfrac{1}{4}\right \}$.

Vậy tổng bình phương các phần tử của S là $\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{16}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.