Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x = 0$ và $x = 2.$ Cắt phần vật thể

Câu hỏi số 974662:

Vận dụng

Cho vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x = 0$ và $x = 2.$ Cắt phần vật thể này bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\left( {0 \leq x \leq 2} \right)$ thì phần chung của mặt phẳng và vật thể là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $x^{2}\sqrt{2 - x}.$ Thể tích của vật thể này bằng

A. $V = \dfrac{8\sqrt{3}}{15}.$

B. $V = \dfrac{32}{15}.$

C. $V = \dfrac{4\sqrt{3}}{15}.$

D. $V = \dfrac{16}{15}.$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974662

Phương pháp giải

Thể tích vật thể tính bằng tích phân $V = {\int_{a}^{b}S}(x)dx$ với $S(x)$ là diện tích thiết diện. Diện tích tam giác đều cạnh $a$ là $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}.$

Giải chi tiết

Diện tích thiết diện là: $S(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\left( {x^{2}\sqrt{2 - x}} \right)^{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}x^{4}\left( {2 - x} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\left( {2x^{4} - x^{5}} \right)$

Thể tích vật thể là: $V = {\int_{0}^{2}S}(x)dx = \dfrac{\sqrt{3}}{4}{\int_{0}^{2}\left( {2x^{4} - x^{5}} \right)}dx = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\left\lbrack {\dfrac{2x^{5}}{5} - \dfrac{x^{6}}{6}} \right\rbrack_{0}^{2}$

Suy ra $V = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\left( {\dfrac{64}{5} - \dfrac{64}{6}} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{64}{30} = \dfrac{16\sqrt{3}}{30} \cdot 4 = \dfrac{8\sqrt{3}}{15}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.