Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_n = 2u_{n-1} + 1, n \ge 2 \end{cases}$.

Câu hỏi số 975478:
Vận dụng

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_n = 2u_{n-1} + 1, n \ge 2 \end{cases}$. Tổng $S = u_1 + u_2+...+u_{20}$ bằng

Đáp án đúng là: 2097132

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:975478
Phương pháp giải

Biến đổi công thức truy hồi để đưa về dạng cấp số nhân.

Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân: $S_n = u_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Giải chi tiết

Từ hệ thức truy hồi $u_n = 2u_{n-1} + 1$, ta cộng 1 vào hai vế để biến đổi:

$u_n + 1 = 2u_{n-1} + 2 \Leftrightarrow u_n + 1 = 2(u_{n-1} + 1)$ với mọi $n \ge 2$.

Đặt $v_n = u_n + 1$, khi đó ta có $v_1 = u_1 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Dãy số $(v_n)$ thỏa mãn $v_1 = 2$ và $v_n = 2v_{n-1}$ với mọi $n \ge 2$.

Do đó, $(v_n)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $v_1 = 2$ và công bội $q = 2$.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân $(v_n)$ là:

$v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$.

Từ cách đặt $v_n = u_n + 1$, ta suy ra công thức tổng quát của dãy $(u_n)$ là:

$u_n = v_n - 1 = 2^n - 1$.

Ta cần tính tổng:

$S = u_1 + u_2 + ... + u_{20}$

$S = (2^1 - 1) + (2^2 - 1) + ... + (2^{20} - 1)$

$S = (2^1 + 2^2 + ... + 2^{20}) - 20$

Biểu thức $2^1 + 2^2 + ... + 2^{20}$ chính là tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân $(v_n)$, do đó ta có:

$2^1 + 2^2 + ... + 2^{20} = 2 \cdot \frac{2^{20} - 1}{2 - 1} = 2(2^{20} - 1) = 2^{21} - 2$.

Thay vào biểu thức tính tổng $S$, ta được:

$S = 2^{21} - 2 - 20 = 2^{21} - 22=2097132$.

Đáp án: 2097132

Đáp án cần điền là: 2097132

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →