Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = \frac{2}{3}\) và \({u_{n + 1}}

Câu hỏi số 975483:

Vận dụng

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = \frac{2}{3}\) và \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{2\left( {2n + 1} \right){u_n} + 1}}\,\,\forall n \ge 1\). Giá trị nhỏ nhất của n để \({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} > \frac{{2017}}{{2018}}\) là:

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1009

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975483

Phương pháp giải

Tìm quy luật và tìm \({u_n}\), phân tích và tính tổng \({u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{{{2^2} - 1}}\\{u_2} = \dfrac{{{u_1}}}{{2\left( {2.1 + 1} \right){u_1} + 1}} = \dfrac{2}{{15}} = \dfrac{2}{{{4^2} - 1}}\\{u_3} = \dfrac{{{u_2}}}{{2\left( {2.2 + 1} \right){u_2} + 1}} = \dfrac{2}{{35}} = \dfrac{2}{{{6^2} - 1}}\\.....\\{u_n} = \dfrac{2}{{{{\left( {2n} \right)}^2} - 1}}\\\,\,\,\,\,{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} > \dfrac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{2^2} - 1}} + \dfrac{2}{{{4^2} - 1}} + \dfrac{2}{{{6^2} - 1}} + ... + \dfrac{1}{{{{\left( {2n} \right)}^2} - 1}} > \dfrac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{1.3}} + \dfrac{2}{{3.5}} + \dfrac{2}{{5.7}} + \dfrac{2}{{7.9}} + ... + \dfrac{2}{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}} > \dfrac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{9} + ... + \dfrac{1}{{2n - 1}} - \dfrac{1}{{2n + 1}} > \dfrac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow 1 - \dfrac{1}{{2n + 1}} > \dfrac{{2017}}{{2018}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2n + 1}} < \dfrac{1}{{2018}}\\ \Leftrightarrow 2n + 1 > 2018 \Leftrightarrow n > 1008,5\,\,\left( {n \in N} \right)\end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn là \(n = 1009\).

Đáp án cần điền là: 1009

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.