Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^{2} & \left( {x \leq 1} \right) \\ {2x - 1} & \left( {x > 1}

Câu hỏi số 985113:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^{2} & \left( {x \leq 1} \right) \\ {2x - 1} & \left( {x > 1} \right) \end{cases}.$ Nếu $F(x) = \begin{cases} {\dfrac{1}{3}x^{3} + a} & \left( {x \leq 1} \right) \\ {x^{2} + bx} & \left( {x > 1} \right) \end{cases}$ $\left( {a,\ b \in {\mathbb{R}}} \right)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thì $3a + 2b$ bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: -3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:985113

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm nguyên hàm trên từng khoảng (xuất hiện hai hằng số $C_{1},\ C_{2}$).

Bước 2: Sử dụng tính liên tục tại điểm $x = 1$ để tìm mối liên hệ giữa $C_{1},\ C_{2}.$

Bước 3: Thay giá trị đề bài cho $F(0)$ để tìm cụ thể $C$ và tính $F(2).$

Giải chi tiết

Với $x \leq 1:$ $F(x) = {\int{f(x)dx}} = {\int{x^{2}dx}} = \dfrac{1}{3}x^{3} + c_{1}.$

Với $x > 1:$ $F(x) = {\int{f(x)dx}} = {\int{\left( {2x - 1} \right)dx}} = x^{2} - x + c_{2}.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} {a = c_{1}\mspace{6mu}} \\ {b = - 1} \\ {c_{2} = 0\ } \end{matrix} \right..$ Bên cạnh đó, do $f(x)$ liên tục tại $x = 1,$ ta có $F(x)$ cũng liên tục tại $x = 1.$

Suy ra $\left. \lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}F(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}F(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 1}F(x) = F(1)\Leftrightarrow\dfrac{1}{3} \cdot 1^{3} + a = 1^{2} - 1\Leftrightarrow a = \dfrac{- 1}{3}. \right.$

Từ đó $3a + 2b = 3 \cdot \left( \dfrac{- 1}{3} \right) + 2 \cdot \left( {- 1} \right) = - 3.$

Đáp án cần điền là: -3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.