Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi E, G, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Từ E kẻ đường
Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi E, G, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Từ E kẻ đường thẳng song song với BF, đường thẳng này cắt GF tại I.
a) Chứng minh tứ giác BEIF là hình bình hành.
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AGCI là hình vuông.
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để chứng minh $GF\parallel AB$, suy ra $IF\parallel BE$. Kết hợp với giả thiết $EI\parallel BF$ để suy ra tứ giác BEIF là hình bình hành.
b) Dựa vào tính chất hình bình hành BEIF và đường trung bình GF để chứng minh F là trung điểm của IG. Từ đó chứng minh tứ giác AGCI có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành. Kết hợp với hai đường chéo vuông góc ($AC \bot IG$) để suy ra AGCI là hình thoi. Để hình thoi AGCI là hình vuông cần thêm điều kiện một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau, từ đó suy ra điều kiện của tam giác ABC.
a) Xét tam giác ABC, ta có:
G là trung điểm của BC, F là trung điểm của AC (giả thiết)
Suy ra GF là đường trung bình của tam giác ABC $ \Rightarrow GF\parallel AB$
Mà $E \in AB$ và $I \in GF$ nên $BE\parallel IF$.
Xét tứ giác BEIF, ta có: $BE\parallel IF$, $BF\parallel IE$
Do đó, tứ giác BEIF có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
b) Vì $GF\parallel AB$ mà $AB \bot AC$ nên $GF \bot AC$, hay $IG \bot AC$ tại F.
Vì tứ giác BEIF là hình bình hành nên $IF = BE$.
Mặt khác, GF là đường trung bình của tam giác ABC nên $GF = \dfrac{1}{2}AB = BE$
Do đó $GF = IF = BE$, suy ra F là trung điểm của đoạn thẳng IG.
Xét tứ giác AGCI, ta có F là trung điểm của AC, F là trung điểm của IG
Hai đường chéo AC và IG cắt nhau tại trung điểm F của mỗi đường nên AGCI là hình bình hành.
Hình bình hành AGCI có hai đường chéo $AC \bot IG$ nên AGCI là hình thoi.
Để hình thoi AGCI là hình vuông thì cần có một góc vuông, hay $AG \bot BC$.
Xét tam giác ABC có AG vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ABC cân tại A.
Mà tam giác ABC đã vuông tại A, do đó ABC phải là tam giác vuông cân tại A.
Vậy để tứ giác AGCI là hình vuông thì tam giác ABC phải vuông cân tại A.
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
