Cho hình bình hành ABCD có $AB = a,$ $AD = a\sqrt{2},$ $\angle{BAD} = 120^o$.a) Tính $\overrightarrow{AB} \cdot

Câu hỏi số 987635:

Vận dụng

Cho hình bình hành ABCD có $AB = a,$ $AD = a\sqrt{2},$ $\angle{BAD} = 120^o$.

a) Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$.

b) Gọi M, N lần lượt là các điểm nằm trên cạnh AB, CD sao cho $AM = \dfrac{1}{2}AB,$ $CN = \dfrac{1}{3}CD$. Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AG} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB} + \dfrac{19}{18}\overrightarrow{DC}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:987635

Phương pháp giải

a) Áp dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$.

b) Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác: $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AG}$. Phân tích các vectơ $\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AN}, \overrightarrow{AB}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{DC}$ dựa vào tính chất hình bình hành, từ đó rút ra biểu thức cần chứng minh.

Giải chi tiết

a) Ta có:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AD}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$

$= AB \cdot AD \cdot \cos\angle{BAD}$ $= a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos 120^o= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}a^2$

b) Vì G là trọng tâm của tam giác BMN nên với điểm A tùy ý, ta có hệ thức:

$\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AG}$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

Mặt khác, $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} \Rightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DB}$.

Ta biểu diễn các vectơ theo $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{DC}$:

Vì M là trung điểm của AB ($AM = \dfrac{1}{2}AB$) nên: $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}$

Vì N nằm trên cạnh CD và $CN = \dfrac{1}{3}CD$ nên $\overrightarrow{CN} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}$.

Ta có: $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$$= \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AD} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}$

$= \overrightarrow{DC} + (\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DB}) - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}$$= \dfrac{5}{3}\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DB}$

Mà $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

Cộng ba vectơ trên, ta được: $3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{AB}$

$= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} + \left(\dfrac{5}{3}\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DB}\right) + \overrightarrow{DC}= -\overrightarrow{DB} + \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{3} + 1\right)\overrightarrow{DC}$

$= -\overrightarrow{DB} + \dfrac{19}{6}\overrightarrow{DC}$

Suy ra $\overrightarrow{AG} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB} + \dfrac{19}{18}\overrightarrow{DC}$ (điều phải chứng minh).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.