Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán 10

Cho tam giác ABC có AB = $2a$, AC = $3a$, góc BAC = 60°. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng BC. Điểm J

Câu hỏi số 987971:
Vận dụng

Cho tam giác ABC có AB = $2a$, AC = $3a$, góc BAC = 60°. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng BC. Điểm J thuộc đoạn AC thỏa mãn: $12\overrightarrow{AJ} - 7\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$. Khi đó:

Đúng Sai
a) $AI \perp BJ.$
b) $\overrightarrow{AI} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$.
c) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4a^2$.
d) $\overrightarrow{BJ} = -\overrightarrow{AB} + \dfrac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

Đáp án đúng là: Đ; S; S; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:987971
Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc trung điểm $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, quy tắc chèn điểm, tích vô hướng của hai véctơ $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos\angle{BAC}$ và điều kiện hai đường thẳng vuông góc là tích vô hướng bằng 0.

Giải chi tiết

a) Đúng: Vì I là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Từ $12\overrightarrow{AJ} - 7\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$ suy ra $\overrightarrow{AJ} = \dfrac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AJ} = -\overrightarrow{AB} + \dfrac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^o= 2a \cdot 3a \cdot \dfrac{1}{2} = 3a^2$.

Khi đó $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BJ} = \left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right) \cdot \left(-\overrightarrow{AB} + \dfrac{7}{12}\overrightarrow{AC}\right)$

$= \dfrac{1}{2} \left(-\overrightarrow{AB}^2 + \dfrac{7}{12}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \dfrac{7}{12}\overrightarrow{AC}^2\right)$

$= \dfrac{1}{2} \left(-AB^2 - \dfrac{5}{12}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \dfrac{7}{12}AC^2\right)$

$= \dfrac{1}{2} \left(-(2a)^2 - \dfrac{5}{12} \cdot 3a^2 + \dfrac{7}{12} \cdot (3a)^2\right)$

$= \dfrac{1}{2} \left(-4a^2 - \dfrac{15}{12}a^2 + \dfrac{63}{12}a^2\right) = \dfrac{1}{2} (-4a^2 + 4a^2) = 0$.

Suy ra AI \perp BJ.

b) Sai: Vì I là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

c) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^o= 2a \cdot 3a \cdot \dfrac{1}{2} = 3a^2$.

d) Đúng: Từ $12\overrightarrow{AJ} - 7\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{AJ} = \dfrac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

Suy ra $\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AJ} = -\overrightarrow{AB} + \dfrac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; S; Đ

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →