Cho tam giác ABC vuông cân tại B có $AB = 2026.$ Gọi d là đường thẳng qua A và song song BC, điểm M

Câu hỏi số 987979:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông cân tại B có $AB = 2026.$ Gọi d là đường thẳng qua A và song song BC, điểm M di động trên d. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}|$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:987979

Phương pháp giải

Chèn điểm cố định I thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ để rút gọn biểu thức vectơ.

Độ dài nhỏ nhất của MI chính là khoảng cách từ I đến đường thẳng d.

Giải chi tiết

Gọi I là điểm cố định thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$.

Khi đó $\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI}$.

Do đó $|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}| = |2\overrightarrow{MI}| = 2MI$.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $B(0; 0),$ $A(2026; 0)$ thuộc trục Ox và $C(0; 2026)$ thuộc trục Oy. Đường thẳng d qua A song song BC có phương trình $x = 2026$.

Tọa độ điểm I thỏa mãn:

$x_I = \dfrac{x_A + 2x_B - x_C}{1 + 2 - 1} = 1013$; $y_I = \dfrac{y_A + 2y_B - y_C}{1 + 2 - 1} = -1013$.

Suy ra I(1013; -1013).

Độ dài MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên d.

Khoảng cách từ I đến d là $d(I, d) = |2026 - 1013| = 1013$.

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $2 \cdot 1013 = 2026$.

Đáp án cần điền là: 2026

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.