Cho tam giác ABC vuông cân tại A có $AB = 5.$ Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn hệ

Câu hỏi số 987978:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có $AB = 5.$ Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn hệ thức: $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MC} = 25$ là đường tròn có bán kính $R = \dfrac{a\sqrt{10}}{b}$, với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị biểu thức $T = 25a + 2026b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:987978

Phương pháp giải

Biến đổi đẳng thức vectơ về dạng $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MI} = c$ bằng cách gọi I là trung điểm BC.

Gọi K là trung điểm AI để đưa về dạng $MK^2 - KI^2 = c$, từ đó suy ra bán kính R.

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm BC, ta có $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI}$.

Hệ thức trở thành: $\overrightarrow{MA} \cdot 2\overrightarrow{MI} = 25 \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MI} = \dfrac{25}{2}$.

Gọi K là trung điểm của AI, ta có: $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MI} = (\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KA}) \cdot (\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KI}) = MK^2 - KI^2 = \dfrac{25}{2}$.

Suy ra $MK^2 = \dfrac{25}{2} + KI^2$.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = 5 nên $BC = 5\sqrt{2}$.

Đường trung tuyến $AI = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.

K là trung điểm AI nên $KI = \dfrac{AI}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{4}$.

$KI^2 = \dfrac{25}{8}$.

Khi đó $MK^2 = \dfrac{25}{2} + \dfrac{25}{8} = \dfrac{125}{8}$.

Bán kính đường tròn là $R = MK = \sqrt{\dfrac{125}{8}} = \dfrac{5\sqrt{10}}{4}$.

Suy ra $a = 5, b = 4$. Vậy $T = 25a + 2026b = 25 \cdot 5 + 2026 \cdot 4 = 8229$.

Đáp án cần điền là: 8229

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.