Cho $A=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}$ và $B=\dfrac{x+15}{x-9}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}$ với $x

Câu hỏi số 990215:

Vận dụng

Cho $A=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}$ và $B=\dfrac{x+15}{x-9}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}$ với $x \ge 0, x \ne 9$

1. Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=25$.

2. Chứng minh: $B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$.

3. Cho $P=A.B$. Tìm số nguyên $x$ lớn nhất để $P < \dfrac{3}{5}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:990215

Phương pháp giải

1. Thay $x=25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ để tính.

2. Quy đồng mẫu, thực hiện phép tính để rút gọn biểu thức $B$.

3. Tính biểu thức $P=A.B$. Giải bất phương trình $P < \dfrac{3}{5}$, kết hợp điều kiện $x$ nguyên lớn nhất để tìm $x$.

Giải chi tiết

1. Thay $x=25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta được:

$A=\dfrac{\sqrt{25}+3}{\sqrt{25}+1}=\dfrac{5+3}{5+1}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}$

Vậy khi $x=25$ thì $A=\dfrac{4}{3}$.

2. Với $x \ge 0, x \ne 9$ ta có:

$B=\dfrac{x+15}{x-9}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}$

$B=\dfrac{x+15}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}+\dfrac{\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}-\dfrac{4(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$B=\dfrac{x+15+\sqrt{x}-3-4\sqrt{x}-12}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$B=\dfrac{x-3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$B=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$

Vậy $B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ với $x \ge 0, x \ne 9$.

3. $P=A.B=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}.\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$

$P < \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} < \dfrac{3}{5}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{3}{5} < 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{5\sqrt{x}-3(\sqrt{x}+1)}{5(\sqrt{x}+1)} < 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{5\sqrt{x}-3\sqrt{x}-3}{5(\sqrt{x}+1)} < 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{2\sqrt{x}-3}{5(\sqrt{x}+1)} < 0$

Vì $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x}+1 \ge 1 > 0 \Rightarrow 5(\sqrt{x}+1) > 0$

Nên $2\sqrt{x}-3 < 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{x} < 3 \Leftrightarrow \sqrt{x} < \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x < \dfrac{9}{4}$

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0, x \ne 9$ ta được $0 \le x < \dfrac{9}{4}$

Mà $x$ là số nguyên lớn nhất nên $x=2$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x=2$ là giá trị cần tìm.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link