Bác Minh đặt đóng một chiếc hộp đựng quà lưu niệm dạng hình hộp chữ nhật có thể tích

Câu hỏi số 990218:

Vận dụng

Bác Minh đặt đóng một chiếc hộp đựng quà lưu niệm dạng hình hộp chữ nhật có thể tích là $4dm^3$; mặt đáy MNPQ là hình vuông. Để món quà trở nên đặc biệt, bác Minh muốn mạ bốn mặt xung quanh và mặt đáy trên ABCD của chiếc hộp bằng kim loại quý. Tìm độ dài cạnh MN và chiều cao AM của hộp quà để tổng diện tích các mặt được mạ kim loại là nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:990218

Phương pháp giải

Gọi cạnh đáy MN là $x$ ($dm$), chiều cao AM là $h$ ($dm$) ($x, h > 0$).

Tính thể tích hộp chữ nhật theo $x$ và $h$, từ đó rút $h$ theo $x$ dựa vào thể tích đã cho.

Tính diện tích các mặt cần mạ (gồm 4 mặt xung quanh và 1 mặt đáy trên) theo $x$ và $h$.

Thay $h$ vào biểu thức diện tích, áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích.

Giải chi tiết

Gọi độ dài cạnh đáy MN là $x$ ($dm, x > 0$).

Vì MNPQ là hình vuông nên diện tích đáy là $x^2$ ($dm^2$).

Gọi chiều cao AM của hộp là $h$ ($dm, h > 0$).

Thể tích của hộp chữ nhật là: $V = x^2.h = 4 \Rightarrow h = \dfrac{4}{x^2}$.

Tổng diện tích các mặt được mạ kim loại (gồm 4 mặt xung quanh và mặt đáy ABCD) là:

$S = S_{xq} + S_{ABCD} = 4.x.h + x^2$.

Thay $h = \dfrac{4}{x^2}$ vào biểu thức tính S, ta có:

$S = 4.x.\dfrac{4}{x^2} + x^2 = \dfrac{16}{x} + x^2$

$S = \dfrac{8}{x} + \dfrac{8}{x} + x^2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương $\dfrac{8}{x}, \dfrac{8}{x}$ và $x^2$, ta được:

$S = \dfrac{8}{x} + \dfrac{8}{x} + x^2 \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{8}{x}.\dfrac{8}{x}.x^2} = 3\sqrt[3]{64} = 3.4 = 12$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{8}{x} = x^2 \Leftrightarrow x^3 = 8 \Leftrightarrow x = 2$ (thỏa mãn $x > 0$).

Với $x = 2$, chiều cao $h = \dfrac{4}{2^2} = 1$ ($dm$).

Vậy để tổng diện tích các mặt được mạ kim loại là nhỏ nhất thì độ dài cạnh MN là $2dm$ và chiều cao AM là $1dm$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link