1). Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính $AB=2R$, vẽ bán kính $OC \perp AB$. Tính tổng diện tích
1). Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính $AB=2R$, vẽ bán kính $OC \perp AB$. Tính tổng diện tích 2 hình viên phân giới hạn bởi dây CA; CB và cung nhỏ CA; CB với $R=8cm$; $\pi \approx 3,14$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
2. Cho đường tròn tâm O, đường kính $AB=2R$. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H(H khác A), kẻ đường thẳng d vuông góc với AB tại H; trên d lấy điểm E sao cho $HE>R$; vẽ tiếp tuyến EM; EN với (O) tại M; N (N; H ở cùng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng OA), dây MN cắt OH; OE thứ tự ở K; I.
a) Chứng minh năm điểm E; H; N; M;O cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh $OE \perp MN$ và $OI.OE = OK.OH$
c) Chứng minh $MN^2= 4. OI.IE$ và tìm vị trí của điểm E trên đường thẳng d để diện tích của tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
1. Diện tích hình viên phân = Diện tích hình quạt - Diện tích tam giác.
Tổng diện tích 2 hình viên phân cần tính bằng tổng diện tích hai hình quạt $OAC, OBC$ trừ đi diện tích hai tam giác vuông $OAC, OBC$. Do đó bằng diện tích nửa hình tròn đường kính AB trừ đi diện tích tam giác $ABC$.
Áp dụng công thức tính diện tích hình tròn $S = \pi R^2$, diện tích tam giác $S = \dfrac{1}{2}ah$.
2. a) Chứng minh 5 điểm $E, H, N, M, O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EO$ bằng cách chỉ ra các góc $\angle{EHO} = \angle{EMO} = \angle{ENO} = 90^\circ$.
b) Chứng minh OE là đường trung trực của MN suy ra $OE \perp MN$ tại I.
Xét $\Delta OIK \sim \Delta OHE$ (g-g) suy ra tỉ số đồng dạng, từ đó suy ra $OI.OE = OK.OH$.
c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OME$ với đường cao $MI$ để chứng minh $MI^2 = OI.IE$.
Từ đó suy ra $MN^2 = 4MI^2 = 4.OI.IE$.
Biến đổi diện tích tam giác OIK, áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất.
1.
Nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, bán kính $OC \perp AB$
$\Rightarrow \Delta OAC, \Delta OBC$ là các tam giác vuông cân tại O
$\Rightarrow OA = OB = OC = R = 8cm$
Diện tích tam giác vuông OAC là: $S_{OAC} = \dfrac{1}{2}.OA.OC = \dfrac{1}{2}.R.R = \dfrac{1}{2}R^2$
Diện tích tam giác vuông OBC là: $S_{OBC} = \dfrac{1}{2}.OB.OC = \dfrac{1}{2}.R.R = \dfrac{1}{2}R^2$
Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC} = S_{OAC} + S_{OBC} = \dfrac{1}{2}R^2 + \dfrac{1}{2}R^2 = R^2 = 8^2 = 64 (cm^2)$
Diện tích nửa hình tròn đường kính AB là: $S_{nht} = \dfrac{1}{2}\pi R^2 = \dfrac{1}{2}.3,14.8^2 = 100,48 (cm^2)$
Tổng diện tích 2 hình viên phân cần tính là:
$S = S_{nht} - S_{ABC} = 100,48 - 64 = 36,48 \approx 36,5 (cm^2)$
2)
a) Ta có $d \perp AB$ tại H nên $\angle{EHO} = 90^\circ$
Khi đó $\Delta EHO$ vuông tại H nên E, H, O cùng thuộc đường tròn đường kính EO
EM, EN là các tiếp tuyến của (O) tại M, N nên $\angle{EMO} = \angle{ENO} = 90^\circ$
Khi đó $\Delta EMO$ vuông tại M nên E, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính EO
Tương tự $\Delta ENO$ vuông tại N nên E, N, O cùng thuộc đường tròn đường kính EO
Suy ra E, M, N, O, H cùng thuộc 1 đường tròn đường kính EO
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $EM = EN$.
Lại có $OM = ON = R$.
Suy ra OE là đường trung trực của MN.
$\Rightarrow OE \perp MN$ tại I (I là giao điểm của OE và MN).
Xét $\Delta OIK$ và $\Delta OHE$ có:
$\angle{OIK} = \angle{OHE} = 90^\circ$
$\angle{EOH}$ chung
$\Rightarrow \Delta OIK \sim \Delta OHE$ (g-g)
$\Rightarrow \dfrac{OI}{OH} = \dfrac{OK}{OE}$
$\Rightarrow OI.OE = OK.OH$
c) Xét $\Delta OMI$ và $\Delta MEI$ có
$\angle{MIE} = \angle{MIO} = 90^\circ$
$\angle{EMI} = \angle{MOI}$ (Do cùng cộng với góc $\angle{OMI}$ bằng $90^\circ$)
Suy ra $\Rightarrow \Delta OMI \sim \Delta MEI$ (g-g)
Suy ra $\Rightarrow \dfrac{OI}{MI} = \dfrac{MI}{EI}$ hay $MI^2 = OI.IE$
Vì I là trung điểm của MN nên $MN = 2MI$
$\Rightarrow MN^2 = (2MI)^2 = 4MI^2 = 4.OI.IE$
Ta có $S_{OIK} = \dfrac{1}{2}.IK.OI$
Từ $\Delta OIK \sim \Delta OHE$ (cmt) $\Rightarrow \dfrac{IK}{HE} = \dfrac{OI}{OH} \Rightarrow IK = \dfrac{HE.OI}{OH}$
$\Rightarrow S_{OIK} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{HE.OI^2}{OH}$
Tương tự ta có $\Delta OMI \sim \Delta OEM$ (g.g) suy ra $OI.OE = OM^2 = R^2 \Rightarrow OI = \dfrac{R^2}{OE}$
Lại có $OE^2 = OH^2 + HE^2$
$\Rightarrow S_{OIK} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{HE}{OH}.\left(\dfrac{R^2}{OE}\right)^2 = \dfrac{1}{2}.\dfrac{HE}{OH}.\dfrac{R^4}{OH^2+HE^2} = \dfrac{R^4}{2.OH}.\dfrac{HE}{OH^2+HE^2}$
Chia cả tử và mẫu của $\dfrac{HE}{OH^2+HE^2}$ cho $HE > 0$ ta được: $\dfrac{HE}{OH^2+HE^2} = \dfrac{1}{\dfrac{OH^2}{HE}+HE}$
Ta có với 2 số không âm $a;b$ có $\left( {\sqrt{a} - \sqrt{b}} \right)^{2} \geq 0$ nên $a + b \geq 2\sqrt{ab}$. Dấu bằng có khi $a = b$
Áp dụng bất đẳng thức trên cho hai số dương $\dfrac{OH^2}{HE}$ và HE ta có:
$\dfrac{OH^2}{HE} + HE \ge 2\sqrt{\dfrac{OH^2}{HE}.HE} = 2OH$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{OH^2}{HE} = HE \Leftrightarrow HE^2 = OH^2 \Leftrightarrow HE = OH$ (vì HE, OH > 0)
Khi đó $S_{OIK} \le \dfrac{R^4}{2.OH}.\dfrac{1}{2OH} = \dfrac{R^4}{4.OH^2}$
Vì O, A, H cố định nên OH không đổi, do đó $S_{OIK}$ lớn nhất bằng $\dfrac{R^4}{4.OH^2}$ khi $HE = OH$.
Vậy để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất thì E nằm trên đường thẳng d sao cho $HE = OH$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
