Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả

Câu hỏi số 990448:

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:990448

Phương pháp giải

Gọi số máy móc công ty sử dụng là $x$ ($x \in \mathbb{N}^*$).

Tính thời gian hoàn thành đơn hàng theo $x$.

Tính tổng chi phí sản xuất theo $x$.

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí.

Giải chi tiết

Gọi số máy móc công ty sử dụng là $x$ ($x \in \mathbb{N}^*$).

Mỗi máy sản xuất được 30 quả bóng/giờ nên $x$ máy sản xuất được $30x$ quả bóng/giờ.

Thời gian để sản xuất 8000 quả bóng là $\dfrac{8000}{30x} = \dfrac{800}{3x}$ (giờ).

Chi phí thiết lập $x$ máy là $200x$ (nghìn đồng).

Chi phí trả cho người giám sát trong thời gian sản xuất là $\dfrac{800}{3x} . 192 = \dfrac{51200}{x}$ (nghìn đồng).

Tổng chi phí sản xuất là:

$C = 200x + \dfrac{51200}{x}$ (nghìn đồng).

Ta có với $a,b$ không âm thì $\left( {\sqrt{a} - \sqrt{b}} \right)^{2} \geq 0$ nên $a + b \geq 2\sqrt{ab}$. Dấu bằng có khi $a = b$

Áp dụng bất đẳng thức trên cho hai số dương $200x$ và $\dfrac{51200}{x}$, ta có:

$C = 200x + \dfrac{51200}{x} \ge 2\sqrt{200x.\dfrac{51200}{x}} = 2\sqrt{10240000} = 6400$

Dấu "=" xảy ra khi $200x = \dfrac{51200}{x} \Leftrightarrow x^2 = 256 \Rightarrow x = 16$ (thỏa mãn $x \in \mathbb{N}^*$).

Vậy công ty nên sử dụng 16 máy móc để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link