(4 điểm) 1. Một cần cẩu đang nâng một khối gỗ trên sông. Biết tay cẩu AB
(4 điểm)
1. Một cần cẩu đang nâng một khối gỗ trên sông. Biết tay cẩu AB có chiều dài bằng 16m và nghiêng một góc $42^\circ$ so với phương nằm ngang. Tính chiều dài BC của đoạn dây cáp (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
2) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Trên nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến Bx của đường tròn (O), A là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho AB < AC (A khác B, A khác C). Tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O) cắt tia Bx tại D.
a) Chứng minh 4 điểm A, D, B, O cùng thuộc một đường tròn
b) Tia CA cắt Bx tại E. Chứng minh rằng $OD \bot AB$ và $CA.CE = 4R^2$
c) Gọi H là hình chiếu của A trên BC và I là trung điểm của AC, OD cắt AB tại điểm K. Chứng minh ba đường thẳng AH, KI, CD đồng quy.
Quảng cáo
1) Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông ABC để tính độ dài cạnh góc vuông BC khi biết cạnh huyền AB và góc đối diện.
2) a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến để chứng minh hai góc vuông, từ đó suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và đường kính đi qua trung điểm của dây cung. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
c) Kẻ CD cắt AH tại M, cắt AB tại N. Chứng minh M là trung điểm của AH. Chứng minh K là trung điểm của AB, I là trung điểm của AC. Từ đó suy ra KI là đường trung bình của tam giác ABC, nên KI đi qua trung điểm của đường cao AH. Kết luận 3 đường thẳng đồng quy.
1) Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:
$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$
$\Rightarrow BC = AB \cdot \sin A$
$\Rightarrow BC = 16 \cdot \sin 42^\circ \approx 10,7$ (m)
Vậy chiều dài BC của đoạn dây cáp khoảng 10,7m.
2)
a) Vì $Bx$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ nên $OB \bot Bx \Rightarrow \angle{OBD} = 90^\circ$
Tam giác $OBD$ vuông tại $B$ nên ba điểm $O, B, D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OD$.
Vì $DA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ nên $OA \bot DA \Rightarrow \angle{OAD} = 90^\circ$
Tam giác $OAD$ vuông tại $A$ nên ba điểm $O, A, D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OD$.
Do đó bốn điểm $A, D, B, O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OD$.
b) Ta có $DA = DB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
$OA = OB = R$
Suy ra $OD$ là đường trung trực của $AB$.
Do đó $OD \bot AB$.
Vì $A$ thuộc nửa đường tròn đường kính $BC$ nên $\angle{BAC} = 90^\circ$ hay tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Xét $\triangle CEB$ và $\triangle CBA$ có:
$\angle{CBE} = \angle{BAC}$ ($=90^0$)
$\angle{C}$ chung
Suy ra $\triangle BCE \backsim \triangle ACB$ (g.g)
$\Rightarrow \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{CE}{BC} \Rightarrow AC.CE=BC^2$
Mà $BC=2OC=2R$ nên $BC^2=4R^2$
$\Rightarrow CA.CE = 4R^2$.
c) Gọi M là giao điểm của CD và AH. N là giao điểm của CD và AB.
Ta có $AH \bot BC, BE \bot BC \Rightarrow AH // BE$ (hay $AH // BD$)
Áp dụng hệ quả định lý Thales trong $\Delta BCD$ và $\Delta NBD$ ta có:
$\dfrac{AM}{ED} = \dfrac{CM}{CD} = \dfrac{MH}{BD}$
Mặt khác, do $OD \bot AB$ tại trung điểm $K$, mà $AB \bot AC \Rightarrow OD // AC$ (cùng vuông góc với $AB$).
Xét $\Delta BCE$ có $O$ là trung điểm $BC$, $OD // CE$ nên $D$ là trung điểm của $BE \Rightarrow DE = DB$
Từ đó suy ra $AM = MH$, hay M là trung điểm của AH.
Xét $\Delta ABC$ có $K$ là trung điểm AB (do OD là trung trực của AB), I là trung điểm AC (gt)
$\Rightarrow KI$ là đường trung bình của $\Delta ABC \Rightarrow KI // BC$.
Mà $AH \bot BC \Rightarrow KI \bot AH$.
Lại có K là trung điểm AB, $KI // BC$ nên KI đi qua trung điểm của đường cao AH hạ từ A.
Nói cách khác, đường thẳng KI đi qua điểm M.
Vậy ba đường thẳng AH, KI, CD đồng quy tại trung điểm M của AH.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
