(2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M vẽ các tiếp tuyến MA,
(2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm).
a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh OM vuông góc với AB.
c) Gọi H là giao điểm của OM và AB. Chứng minh $MA^2 = MH.MO$.
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến để chỉ ra các tam giác vuông. Áp dụng tính chất tam giác vuông để suy ra các điểm cùng thuộc đường tròn đường kính là cạnh huyền.
b) Chứng minh các điểm M, O cách đều hai đầu mút A, B để suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB, từ đó suy ra hai đường thẳng vuông góc.
c) Chứng minh hai tam giác vuông MAH và MOA đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số đồng dạng và đẳng thức cần chứng minh.
a) Vì $MA$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$ tại tiếp điểm $A$ nên $MA \perp OA$.
Suy ra $\angle{MAO} = 90^\circ$.
Tam giác $MAO$ vuông tại $A$ nên ba điểm $M, A, O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$.
Vì $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$ tại tiếp điểm $B$ nên $MB \perp OB$.
Suy ra $\angle{MBO} = 90^\circ$.
Tam giác $MBO$ vuông tại $B$ nên ba điểm $M, B, O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$.
Từ đó suy ra bốn điểm $M, A, O, B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $MO$.
b) Ta có $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên điểm $M$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
Ta có $OA = OB$ (cùng là bán kính của đường tròn tâm $O$) nên điểm $O$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
Do đó $OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Suy ra $OM \perp AB$.
c) Ta có $OM \perp AB$ tại $H$ nên $\angle{MHA} = 90^\circ$.
Xét tam giác $MAH$ và tam giác $MOA$ có góc $AMO$ chung và $\angle{MHA} = \angle{MAO} = 90^\circ$.
Do đó tam giác $MAH$ đồng dạng với tam giác $MOA$ (góc - góc).
Suy ra $\dfrac{MA}{MO} = \dfrac{MH}{MA}$ (tỉ số đồng dạng).
Vậy $MA^2 = MH.MO$ (điều phải chứng minh).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
