Cho a là số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^2 - a + \dfrac{2}{a^2+1} + 2024$

Câu hỏi số 990736:

Vận dụng

Cho a là số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^2 - a + \dfrac{2}{a^2+1} + 2024$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:990736

Phương pháp giải

Thêm bớt để tạo ra bình phương của một biểu thức và áp dụng hằng đẳng thức.

Sử dụng các đánh giá để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} {P = a^{2} - a + \dfrac{2}{a^{2} + 1} + 2024} \\ {= \dfrac{a^{2} + 1}{2} + \dfrac{2}{a^{2} + 1} + \dfrac{a^{2}}{2} - a + \dfrac{1}{2} + 2023} \\ {= \dfrac{a^{2} + 1}{2} + \dfrac{2}{a^{2} + 1} + \dfrac{1}{2}\left( {a - 1} \right)^{2} + 2023} \end{array}$

Với mọi $x;y$ không âm ta có $\left( {\sqrt{x} - \sqrt{y}} \right)^{2} \geq 0$ suy ra $x + y \geq 2\sqrt{xy}$. Dấu bằng xảy ra khi $x = y$

Khi đó áp dụng cho 2 số dương $\dfrac{a^{2} + 1}{2}$ và $\dfrac{2}{a^{2} + 1}$ ta có $\dfrac{a^{2} + 1}{2} + \dfrac{2}{a^{2} + 1} \geq 2\sqrt{\dfrac{a^{2} + 1}{2}.\dfrac{2}{a^{2} + 1}} \geq 2$

Mặt khác $\left( {a - 1} \right)^{2} \geq 0$ với mọi a

Suy ra $P \geq 2 + \dfrac{1}{2}.0 + 2023 = 2025$

Dấu bằng có khi $\dfrac{a^{2} + 1}{2} = \dfrac{2}{a^{2} + 1}$ và $\left( {a - 1} \right)^{2} = 0$

$\left. \dfrac{a^{2} + 1}{2} = \dfrac{2}{a^{2} + 1}\Leftrightarrow\left( {a^{2} + 1} \right)^{2} = 4\Leftrightarrow a^{2} + 1 = 2\Leftrightarrow a^{2} = 1\Leftrightarrow a = \pm 1 \right.$

$\left. \left( {a - 1} \right)^{2} = 0\Leftrightarrow a = 1 \right.$

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2025 khi $a = 1$

Đáp án cần điền là: 2025

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link