Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại I. Cứng minh ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

Câu hỏi số 106829:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại I. Cứng minh ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} + overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = 4overrightarrow {SI}

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:106829

Giải chi tiết

+) Thuận :

ABCD là hình bình hành tâm I. Theo qui tắc trung điểm ta có :

$egin{array}{l} overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} = overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = 2overrightarrow {SI} \ = > overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} + overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = 4overrightarrow {SI} end{array}$

+) Đảo :

Từ :

$egin{array}{l} overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} + overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = 4overrightarrow {SI} \ = > 4overrightarrow {SI} + overrightarrow {IB} + overrightarrow {ID} + overrightarrow {IA} + overrightarrow {IC} = 4overrightarrow {SI} \ = > overrightarrow {IB} + overrightarrow {ID} + overrightarrow {IA} + overrightarrow {IC} = overrightarrow 0 end{array}$

Do I là giao điểm của 2 đường chéo của tứ giác ABCD nên :

$left{ egin{array}{l} overrightarrow {IC} = koverrightarrow {IA} \ overrightarrow {ID} = poverrightarrow {IB} end{array} ight. = > (1 + k)overrightarrow {IA} + (1 + p)overrightarrow {IB} = overrightarrow 0$

Do overrightarrow {IA} ;overrightarrow {IB} không cùng phương nên ta có :

$egin{array}{l} left{ egin{array}{l} 1 + k = 0\ 1 + p = 0 end{array} ight. = > left{ egin{array}{l} k = - 1\ p = - 1 end{array} ight.\ = > left{ egin{array}{l} overrightarrow {IC} = - overrightarrow {IA} \ overrightarrow {ID} = - overrightarrow {IB} end{array} ight. end{array}$

Vậy ABCD là hình bình hành tâm I

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.