Cho các số thực dương thỏa mãn các điều kiện x+y+z=0 và x2+y2+z2=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x5+y5+z5

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 14393:

Cho các số thực dương thỏa mãn các điều kiện x+y+z=0 và x²+y²+z²=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x⁵+y⁵+z⁵

A. Pmax= $\sqrt{\frac{1}{3}}$

B. Pmax=2

C. Pmax= $\sqrt{\frac{2}{3}}$

D. Pmax= $\frac{1}{3}$

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:14393

Giải chi tiết

Cần biết cách định hướng đưa biểu thức P và dạng một ẩn dựa vào hai biểu thức điều kiện, cụ thể:

+ Nếu lựa chọn sử dụng một trong ba biến x,y,z. Giả sử là x thì ta cần thực hiện biến đổi:

P=x⁵+(y²+z²)(y³+z³)-y²z²(y+z)

=x⁵+(y²+z²)[(y+z)³-3yz(y+z)]- y²z²(y+z)

Trong đó, với giả thiết ta có ngay:y+z=-x; y²+z²=1-x².

Như vậy, còn phải tìm cách biểu diễn yz theo x. Việc này được thực hiện:

0=(x+y+z)²=x²+y²+z²+2x(y+z)+2yz=1-2x²+2yz

<=>yz=x²- $\frac{1}{2}$

Tới đây, bài toán được chuyển về việc tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) nên cần tìm tập giá trị cua biến x. Việc này được thực hiện:

yz≤ $\frac{y^{2}+z^{2}}{2}$ = $\frac{1-x^{2}}{2}$ =>x²- $\frac{1}{2}$ ≤ $\frac{1-x^{2}}{2}$ <=> 3x² ≤2

<=> $-\sqrt{\frac{2}{3}}$ ≤x≤ $\sqrt{\frac{2}{3}}$

+ Nếu lựa chọn sử dụng ẩn phụ có tính đối xứng theo tổng. Giả sử t=x+y=-z thì ta cần thực hiện biến đổi:

P=x⁵+y⁵-(x+y)⁵=-5xy(x³+y³)-10x²y²(x+y)

=-5xy[(x+y)³-3xy(x+y)]- 10x²y²(x+y)

=-5xy(x+y)³+5x²y²(x+y).

Như vậy cần phải tìm cách biểu diễn xy theo t. Việc này được thực hiện:

1=x²+y²+z²=x²+y²+(x+y)²=2(x+y)²+2xy

<=>xy=(x+y)²- $\frac{1}{2}$

Tới đây, bài toán được chuyển về việc tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(t) nên cần tìm tập giá trị của biến t. Việc này được thực hiện:

1 ≤(x+y)² +2 $(\frac{x+y}{2})^{2}$ = $\frac{3}{2}$ (x+y)^{2 =>≤x+y≤}

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.