Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho \(A\left( {2;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,\,1} \right),\,\,C\left( {3;\,\,4}

Câu hỏi số 147404:

Vận dụng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho \(A\left( {2;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,\,1} \right),\,\,C\left( {3;\,\,4} \right).\)

1) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

2) Xác định điểm N trên trục Oy sao cho \(|\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + 4\overrightarrow {NC} |\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:147404

Giải chi tiết

1) \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;0),\overrightarrow {AC} = (1;3)\)

Ta có \(\frac{{ - 1}}{1} \ne \frac{0}{3}\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.

Vậy A, B, C không thẳng hàng.

Giả sử \(D\left( {x;\,\,y} \right).\) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left( { - 1;0} \right) = \left( {3 - x;4 - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 1\\4 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(D\left( {4;\,\,4} \right).\)

\(N \in Oy \Rightarrow N(0;{y_N})\)

\(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + 4\overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} + 3\overrightarrow {NC} \)

\( = 3\overrightarrow {NG} + 3\overrightarrow {NC} \) (với \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\))

\( = 3\left( {\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NC} } \right)\)

\( = 6\overrightarrow {NI} \) (với I là trung điểm của \(GC\)).

Ta có \(G\left( {2;2} \right),I\left( {\frac{5}{2};3} \right)\).

\(\left| {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + 4\overrightarrow {NC} } \right| = \left| {6\overrightarrow {NI} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {NI} } \right| = 6NI.\)

\(\left| {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + 4\overrightarrow {NC} } \right|\) nhỏ nhất khi \(NI\) nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow N\) là hình chiếu của \(I\) trên \(Oy.\)

\( \Leftrightarrow N\left( {0;\,\,3} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10