Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho \(A\left( {2;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,\,1} \right),\,\,C\left( {3;\,\,4}

Câu hỏi số 147404:

Vận dụng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho \(A\left( {2;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,\,1} \right),\,\,C\left( {3;\,\,4} \right).\)

1) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

2) Xác định điểm N trên trục Oy sao cho \(|\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + 4\overrightarrow {NC} |\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:147404

Giải chi tiết

1) \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;0),\overrightarrow {AC} = (1;3)\)

Ta có \(\frac{{ - 1}}{1} \ne \frac{0}{3}\) nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.

Vậy A, B, C không thẳng hàng.

Giả sử \(D\left( {x;\,\,y} \right).\) Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left( { - 1;0} \right) = \left( {3 - x;4 - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x = - 1\\4 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(D\left( {4;\,\,4} \right).\)

\(N \in Oy \Rightarrow N(0;{y_N})\)

\(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + 4\overrightarrow {NC} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} + 3\overrightarrow {NC} \)

\( = 3\overrightarrow {NG} + 3\overrightarrow {NC} \) (với \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\))

\( = 3\left( {\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {NC} } \right)\)

\( = 6\overrightarrow {NI} \) (với I là trung điểm của \(GC\)).

Ta có \(G\left( {2;2} \right),I\left( {\frac{5}{2};3} \right)\).

\(\left| {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + 4\overrightarrow {NC} } \right| = \left| {6\overrightarrow {NI} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {NI} } \right| = 6NI.\)

\(\left| {\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + 4\overrightarrow {NC} } \right|\) nhỏ nhất khi \(NI\) nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow N\) là hình chiếu của \(I\) trên \(Oy.\)

\( \Leftrightarrow N\left( {0;\,\,3} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.