Tính tích phân I=

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 183:

Tính tích phân I= $\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx$

A. I= $\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}ln(3-2\sqrt{2})$

B. I= $\sqrt{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}ln(3-2\sqrt{2})$

C. I= $\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}ln(3-2\sqrt{2})$

D. I= $\sqrt{2}+\frac{1}{3\sqrt{3}}ln(3-2\sqrt{2})$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:183

Giải chi tiết

Ta có I= $\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx$ = $\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{2sinxcosx+2cos^{2}x-1}{sinx+cosx}dx$ = $\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{2cosx(sinx+cosx)-1}{sinx+cosx}dx$

=2 $\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}cosxdx$ - $\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{sinx+cosx}$ =2sinx $\begin{vmatrix}\frac{\prod}{4}\\0\end{vmatrix}$ - $\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{sinx+cosx}$

= $\sqrt{2}$ - $\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{sinx+cosx}$

Tính J= $\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{sinx+cosx}$

Ta có J= $\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{\sqrt{2}cos(x-\frac{\prod}{4})}$ = $\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)dx}{\sqrt{2}cos^{2}\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}$

= $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dsin\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}{1-sin^{2}\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{0}\frac{dt}{1-t^{2}}$ , với t=sin(x- $\frac{\prod}{4}$ )

= $\int_{\frac{-1}{\sqrt{2}}}^{0}\left(\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t-1}\right)dt$ = $\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(ln\left|t+1\right|-ln\left|t-1\right|\right)$ $\begin{vmatrix}0\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{vmatrix}$

=- $\frac{1}{2\sqrt{2}}ln(3-2\sqrt{2})$

suy ra I= $\sqrt{2}$ + $\frac{1}{2\sqrt{2}}ln(3-2\sqrt{2})$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.