Cho hàm số \(y = a\sin x + b\cos x + x\). Hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để hàm số luôn luôn

Câu hỏi số 188784:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = a\sin x + b\cos x + x\). Hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để hàm số luôn luôn đồng biến trên R là:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 1\\a > 1\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} < 1\\a > 1\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} > 1\\a < 1\end{array} \right.\)

D. \(0 \le {a^2} + {b^2} \le 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:188784

Phương pháp giải

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( a;b \right)\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(y'=a\cos x-b\sin x+1\)

Ta xét 2 trường hợp:

+) TH1: \(a = b = 0\), khi đó ta có hàm số \(y = x\) luôn đồng biến trên R \(\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0.\)

+) TH2: \(a\ne 0\) hoặc \(b\ne 0\) ta có:

\(y'=a\cos x-b\sin x+1=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left( \frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\cos x-\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right)\)

\(=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left[ \cos \left( x+\alpha \right)+\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \right]\) (với \(\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\) và \(\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)).

Để hàm số đồng biến với mọi x thì \(y'\ge 0\) với mọi x

\(\Leftrightarrow \cos \left( x+\alpha \right)+\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\ge 0\) với mọi x

\(\Leftrightarrow \cos \left( x+\alpha \right)\ge \frac{-1}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\) với mọi x

\(\Leftrightarrow -1\ge \frac{-1}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\) (vì \(\cos \left( {x + \alpha } \right) \in {\rm{[ - 1;1]}}\))

\( \Leftrightarrow 1 \le \dfrac{1}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \le 1\)

Kết hợp với điều kiện \(a\ne 0\) hoặc \(b \ne 0\) ta có: \(0 \ne {a^2} + {b^2} \le 1\).

Kết hợp hai trường hợp ta có: \(0 \le {a^2} + {b^2} \le 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.