Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên $SA = SB = SC$ . Góc giữa mặt

Câu hỏi số 195663:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên $SA = SB = SC$ . Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt đáy bằng ${60^0}$ . Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA bằng $\dfrac{{a\sqrt {30} }}{5}$ , khi đó thể tích khối chóp S.ABC bằng:

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:195663

Giải chi tiết

Gọi E là trung điểm của BC

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$\Rightarrow SE \bot \left( {ABC} \right)$

Gọi D là trung điểm của AB ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC nên $DE//AC \Rightarrow DE \bot AB$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}DE \bot AB\\SE \bot AB\,\,\left( {SE \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SDE} \right) \Rightarrow AB \bot SD$

$\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SD \bot AB\\\left( {ABC} \right) \supset DE \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD;DE} \right)} = \widehat {SDE} = {60^0}$

(Vì $SE \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SE \bot DE \Rightarrow \Delta SDE$ vuông tại E $\Rightarrow \widehat {SDE} < {90^0}$ )

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên $AE \bot BC$

$\left. \begin{array}{l}AE \bot BC\\SE \bot BC\,\,\left( {SE \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right)$

Trong (SAE) kẻ $EF \bot SA\,\,\left( 1 \right)$

Vì $BC \bot \left( {SAE} \right) \supset EF \Rightarrow EF \bot BC\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $d\left( {SA;BC} \right) = EF = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{5}$

Đặt $SA = SB = SC = b;\,AB = AC = c$

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên $BC = AB\sqrt 2 = c\sqrt 2$

DE là đường trung bình của tam giác ABC $\Rightarrow DE = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{c}{2}$

Xét tam giác vuông SDA và SBE ta có:

$SD = \sqrt {S{A^2} - A{D^2}} = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}}; \,\,SE = \sqrt {S{B^2} - B{E^2}} = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{c^2}}}{2}}$

Xét tam giác vuông SDE có:

$\tan 60 = \dfrac{{SE}}{{DE}} = \dfrac{{\sqrt {{b^2} - \dfrac{{{c^2}}}{2}} }}{{\dfrac{c}{2}}} = \sqrt 3 \Rightarrow {b^2} - \dfrac{{{c^2}}}{2} = \dfrac{{3{c^2}}}{4} \Rightarrow {b^2} = \dfrac{5}{4}{c^2} \Rightarrow b = \dfrac{{c\sqrt 5 }}{2}$

$\Rightarrow SE = \sqrt {\dfrac{{5{c^2}}}{4} - \dfrac{{{c^2}}}{2}} = \dfrac{{c\sqrt 3 }}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE có: $SE.AE = EF.SA \Rightarrow \dfrac{{c\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{c\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{c\sqrt 5 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt {30} }}{5} \Rightarrow c = 2a \Rightarrow SE = a\sqrt 3$

${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}A{B^2} = \dfrac{1}{2}{c^2} = 2{a^2}$

Vậy ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SE.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 3 .2{a^2} = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.