Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A

Câu hỏi số 198648:

Vận dụng cao

Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3. Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và \((ABC)\), tính \(\cos \alpha \) khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất.

A. \(\cos \alpha = \dfrac{1}{3}\)

B. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(\cos \alpha = \dfrac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:198648

Phương pháp giải

Đặt một cạnh có liên quan là x và thiết lập biểu thức thể tích theo x để tìm giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm BC ⇒ AM ⊥ BC

⇒ BC ⊥ (SMA) ⇒ BC ⊥ SM

Vẽ AH ⊥ SM tại H ⇒ AH ⊥ (SBC)

⇒ AH = 3

Thể tích S.ABC nhỏ nhất ⇔ S_SBC nhỏ nhất

Đặt MB = MC = MA = x (do ∆ ABC vuông cân tại A)

∆ SAM vuông tại A nên \(HM = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}} = \sqrt {{x^2} - 9} ;SM = \dfrac{{A{M^2}}}{{HM}} = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\)

Có \({S_{SBC}} = \dfrac{1}{2}SM.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}.2x = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\)

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}\) với x > 3. Ta có

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2}\sqrt {{x^2} - 9} - \dfrac{{{x^4}}}{{\sqrt {{x^2} - 9} }}}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{2{x^4} - 27{x^2}}}{{\left( {{x^2} - 9} \right)\sqrt {{x^2} - 9} }} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{27}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\)

\(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {3;\dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}} \right);f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\dfrac{{3\sqrt 6 }}{3}; + \infty } \right)\)

Vậy min f(x) đạt được khi \(x = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\)

Góc α là góc SMA nên ta có \(\cos \alpha = \dfrac{{HM}}{{MA}} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 9} }}{x} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.