Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(4;\,6;\,2)\) và \(B(2;\, - 2;\,0)\) và mặt

Câu hỏi số 199112:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(4;\,6;\,2)\) và \(B(2;\, - 2;\,0)\) và mặt phẳng \((P):x + y + z = 0\). Xét đường thẳng \(d\) thay đổi thuộc \((P)\) và đi qua \(B\), gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(d\). Biết rằng khi \(d\) thay đổi thì \(H\) thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính \(R\) của đường tròn đó.

A. \(R = \sqrt 6 \)

B. \(R = 2\)

C. \(R = 1\)

D. \(R = \sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:199112

Phương pháp giải

Chứng minh H thuộc đường tròn đường kính A’B với A’ là hình chiếu của A trên (P)

Giải chi tiết

Gọi A’ là hình chiếu của A trên (P). Ta có AA’ ⊥ (P) ⇒ AA’ ⊥ d

Mà AH ⊥ d nên d ⊥ (AA’H) ⇒ d ⊥ A’H

⇒ A’H ⊥ BH ⇒ ∆ A’BH luôn là tam giác vuông tại H

Vậy H luôn thuộc đường tròn đường kính A’B cố định

Đường thẳng AA’ đi qua A(4;6;2) và nhận n_P(1;1;1) làm VTCP nên AA’ có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 6 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)

Điểm \(A' \in AA' \Rightarrow \) A’(4 + t ; 6 + t ; 2 + t)

A’ ∈ (P) \( \Rightarrow 6 + t + 4 + t + 2 + t = 0 \Rightarrow t = - 4 \Rightarrow A'\left( {0;2; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow A'B = \sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 \)

Bán kính đường tròn đường kính \(R = \dfrac{{A'B}}{2} = \sqrt 6 \)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.