Xét các số thực dương \(a\),\(b\) thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3\). Tìm

Câu hỏi số 199110:

Vận dụng cao

Xét các số thực dương \(a\),\(b\) thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = a + 2b\).

A. \({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 3}}{2}\)

B. \({P_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt {10} - 7}}{2}\)

C. \({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 1}}{2}\)

D. \({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 5}}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:199110

Phương pháp giải

Biến đổi điều kiện bài toán, đưa về phương trình hàm đặc trưng f(a) = f(b)

Giải chi tiết

Điều kiện: ab < 1

Điều kiện của đề bài tương đương với

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {1 - ab} \right) - {\log _2}\left( {a + b} \right) = 2ab + a + b - 3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2 - 2ab} \right) + 2 - 2ab = {\log _2}\left( {a + b} \right) + a + b{\rm{ }}\left( * \right)\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) trên (0;+∞). Có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\forall t > 0\) nên f(t) đồng biến và liên tục trên (0;+∞). Suy ra

\(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {2 - 2ab} \right) = f\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow 2 - 2ab = a + b \Leftrightarrow 2ab + a + b - 2 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Có \(P = a + 2b \Rightarrow a = P - 2b\). Thay vào (1) ta có

\(2\left( {P - 2b} \right)b + P - b - 2 = 0 \Leftrightarrow - 4{b^2} + \left( {2P - 1} \right)b + P - 2 = 0\)

Phương trình trên có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {2P - 1} \right)^2} + 16\left( {P - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 4{P^2} + 12P - 31 \ge 0\)

\( \Rightarrow P \ge \dfrac{{2\sqrt {10} - 3}}{2}{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}P > 0} \right)\) (Kiểm tra khi đó a , b > 0)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.