Cho hình chóp S. ABC có SB vuông góc với đáy, góc giữa SA và đáy bằng\({60^0}\). Biết tam giác

Câu hỏi số 204740:

Vận dụng

Cho hình chóp S. ABC có SB vuông góc với đáy, góc giữa SA và đáy bằng\({60^0}\). Biết tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S. ABC bằng \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}\). Thể tích của khối chóp đã cho là:

A. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\)

B. \(\dfrac{{5{a^3}}}{6}\)

C. \(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\)

D. \(\dfrac{{3{a^3}}}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:204740

Giải chi tiết

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của BC và SC\( \Rightarrow OI\) là đường trung bình của tam giác SBC\( \Rightarrow OI//SB\)

Mà \(SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OI \bot \left( {ABC} \right)\)

Lại có tam giác ABC vuông tại A nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

\( \Rightarrow OI\) là trục của (ABC)\( \Rightarrow IA = IB = IC\)

Mà \(IC = IS \Rightarrow IS = IA = IB = IC \Rightarrow I\)là tâm khối cầu ngoại tiếp chóp S. ABC

\( \Rightarrow R = IS = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2} \Rightarrow SC = 2IS = a\sqrt {15} \)

Vì \(SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BA\) là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;BA} \right)} = \widehat {SAB} = {60^0}\)

Đặt \(AB = AC = x \Rightarrow SB = AB. \tan 60 = x\sqrt 3 \)

Tam giác ABC vuông cân tại A\( \Rightarrow BC = AB\sqrt 2 = x\sqrt 2 \)

Xét tam giác vuông SBC có:

\(S{C^2} = S{B^2} + B{C^2} \Leftrightarrow 15{a^2} = 2{x^2} + 3{x^2} \Leftrightarrow 15{a^2} = 5{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 . \)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}A{B^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{2};\,\,\,SB = 3a \Rightarrow {V_{S. ABC}} = \dfrac{1}{3}SB. {S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}. 3a. \dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{3{a^3}}}{2}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.