Cho hình lăng trụ đều \(ABC. A'B'C'\) có cạnh đáy bằng a, cạnh bên \({\rm{AA}}' = \dfrac{{2a}}{3}\).
Cho hình lăng trụ đều \(ABC. A'B'C'\) có cạnh đáy bằng a, cạnh bên \({\rm{AA}}' = \dfrac{{2a}}{3}\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(ACB'C'\) bằng:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và B’C’.
Vì tam giác ABC đều nên \(AM \bot BC\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AM \bot BC\\AM \bot BB'\,\,\left( {BB' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AM \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
Gọi \(E = BC' \cap B'C\)
Trong (AMNA’) kẻ \(EF//AM\,\,\left( {F \in AA'} \right) \Rightarrow EF \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
Gọi O và O’ lần lượt là tâm tam giác ABC và A’B’C’
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AB \bot CP\\AB \bot CC'\,\,\left( {CC' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {CC'QP} \right)\) tại trung điểm của AB\( \Rightarrow \left( {CC'QP} \right)\) là mặt phẳng trung trực của AB.
Trong (AMNA’) có: \({\rm{EF}} \cap {\rm{OO' = I}}\)
\(\left. \begin{array}{l}I \in EF \Rightarrow IB = IC = IC' = IB'\\I \in OO' \subset \left( {CC'QP} \right) \Rightarrow IA = IB\end{array} \right\} \Rightarrow IB = IC = IC' = IB' = IA\)
\( \Rightarrow I\) là tâm khối cầu ngoại tiếp chóp A. BCC’B’
Ta có: \(OO'/{\rm{AA}}' \Rightarrow OO' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OO' \bot OA \Rightarrow \Delta IOA\) vuông tại O.
Dễ thấy AOIF là hình chữ nhât\( \Rightarrow IO = AF = \dfrac{1}{2}AA' = \dfrac{a}{3}\)
Tam giác ABC đều cạnh a\( \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Xét tam giác vuông IAO có: \(IA = \sqrt {I{O^2} + A{O^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{9} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{2a}}{3} = R\)
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp A. BCC’B’ là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi . {\left( {\dfrac{{2a}}{3}} \right)^3} = \dfrac{{32\pi {a^3}}}{{81}}\)
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
