Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho

Câu hỏi số 205223:

Vận dụng

Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là:

A. \(\dfrac{{8a}}{3}\)

B. \(\sqrt 2 a\)

C. \(2\sqrt 2 a\)

D. \(\dfrac{{4a}}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:205223

Giải chi tiết

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là ∆ ABC với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón.

Gọi H là tâm đường tròn đáy của hình nón, O₁, O₂ lần lượt là tâm của mặt cầu lớn và nhỏ, D₁, D₂ lần lượt là tiếp điểm của AC với (O₁) và (O₂).

Vì O₁D₁ // O₂D₂ (cùng vuông góc với AC) nên theo hệ thức Ta – let ta có:

\( \Rightarrow \dfrac{{A{O_2}}}{{A{O_1}}} = \dfrac{{{O_2}{D_2}}}{{{O_1}{D_1}}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {O_2}\) là trung điểm của \(O{D_1}\) \( \Rightarrow A{O_1} = 2{O_1}{O_2} = 2\left( {a + 2a} \right) = 6a\)

\( \Rightarrow AH = A{O_1} + {O_1}H = 6a + 2a = 8a\)

Xét tam giác vuông \(A{O_1}{D_1}\) có: \(A{D_1} = \sqrt {A{O_1}^2 - {O_1}{D_1}^2} = \sqrt {36{a^2} - 4{a^2}} = 4\sqrt 2 a\)

Dễ thấy \(\Delta A{O_1}{D_1} \sim \Delta ACH\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HC}}{{{O_1}{D_1}}} = \dfrac{{AH}}{{A{D_1}}} \Rightarrow HC = \dfrac{{{O_1}{D_1}.AH}}{{A{D_1}}} = \dfrac{{2a.8a}}{{4\sqrt 2 a}} = 2\sqrt 2 a = r\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.