Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của cốc là 20cm, bán
Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của cốc là 20cm, bán kính đáy cốc là 4cm, bán kính miệng cốc là 5cm. Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B. Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dưới đây:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Đặt b, a, h lần lượt là bán kính đáy cốc, bán kính miệng cốc và chiều cao của cốc, \(\alpha \) là góc kí hiệu như hình vẽ.
Ta trải hai lần mặt xung quanh của cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt như hình vẽ với cung nhỏ BB’ và cung lớn AA’ có độ dài lần lượt là:
\({l_{BB'}} = 2.2\pi b = 4\pi b = 2\alpha .OB \Rightarrow OB = \frac{{2\pi b}}{\alpha }\) ; \({l_{AA'}} = 2.2\pi a = 2\alpha .OA \Rightarrow OA = \frac{{2\pi a}}{\alpha }\)
(BB’ vừa là cung tròn của đường tròn tâm D’ bán kính b, vừa là cung tròn của đường tròn tâm O bán kính OB, AA’ vừa là cung tròn của đường tròn tâm C bán kính a, vừa là cung tròn của đường tròn tâm O bán kính OA)
(\(B \equiv B';A \equiv A'\) ).
Khi đó độ dài ngắn nhất của đường đi con kiến là độ dài đoạn thẳng \(l = AB'\)
Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAB’:\(l = AB' = \sqrt {O{A^2} + OB{'^2} - 2.OA.OB'.cos2\alpha } \,\,\,\,\,\,(1)\);
Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( {AC - BD'} \right)}^2} + CD{'^2}} = \sqrt {{{(a - b)}^2} + {h^2}} \)
\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{b} = \dfrac{{4\pi a}}{{4\pi b}} = \dfrac{{{l_{BB'}}}}{{{l_{AA'}}}} = \dfrac{{OA}}{{OB}} = \dfrac{{OB + BA}}{{OB}} = 1 + \dfrac{{AB}}{{OB}} = 1 + \dfrac{{AB}}{{\dfrac{{2\pi b}}{\alpha }}} = 1 + \dfrac{{AB\alpha }}{{2\pi b}}\\ \Rightarrow \alpha = \left( {\dfrac{a}{b} - 1} \right).\dfrac{{2\pi b}}{{AB}} = \dfrac{{2(a - b)\pi }}{{AB}} = \dfrac{{2(a - b)\pi }}{{\sqrt {{{(a - b)}^2} + {h^2}} }}\\a = 5,b = 4,h = 20 \Rightarrow \alpha = \dfrac{{2\pi }}{{\sqrt {401} }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\\dfrac{{AB}}{{OB}} = \dfrac{a}{b} - 1 \Rightarrow OB = OB' = \dfrac{{AB}}{{\dfrac{a}{b} - 1}} = \dfrac{{b.AB}}{{a - b}} = \dfrac{{b.\sqrt {{{(a - b)}^2} + {h^2}} }}{{a - b}} = 4\sqrt {401} \,\,\,\,\,\,(3)\\OA = OB + BA = \dfrac{{b.\sqrt {{{(a - b)}^2} + {h^2}} }}{{a - b}} + \sqrt {{{(a - b)}^2} + {h^2}} = 4\sqrt {401} + \sqrt {401} = 5\sqrt {401} \end{array}\)
Thế vào biểu thức (1) ta được: \(l \approx 58,80\,\,(cm)\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
