Cho biểu thức: \(K = \frac{{2\sqrt x + 3\sqrt y }}{{\sqrt {xy} + 2\sqrt x - 3\sqrt y - 6}} - \frac{{6 -

Câu hỏi số 206190:

Vận dụng cao

Cho biểu thức: \(K = \frac{{2\sqrt x + 3\sqrt y }}{{\sqrt {xy} + 2\sqrt x - 3\sqrt y - 6}} - \frac{{6 - \sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy} + 2\sqrt x + 3\sqrt y + 6}}.\)

a) Rút gọn \(K.\)

b) Chứng minh rằng: Nếu \(K = \frac{{y + 81}}{{y - 81}}\) thì \(\frac{y}{x}\) là số nguyên chia hết cho \(3.\)

A. \(K= {{x + 81} \over {x - 81}}\)

B. \(K= {{x - 81} \over {x + 81}}\)

C. \(K= {{x - 9} \over {x + 9}}\)

D. \(K= {{x + 9} \over {x - 9}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:206190

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Chứng minh yêu cầu bài toán bằng phương pháp biến đổi tương đương.

Giải chi tiết

a) Rút gọn \(K.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\sqrt {xy} + 2\sqrt x - 3\sqrt y - 6 \ne 0\\\sqrt {xy} + 2\sqrt x + 3\sqrt y + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) \ne 0\\\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\sqrt x \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}K = \frac{{2\sqrt x + 3\sqrt y }}{{\sqrt {xy} + 2\sqrt x - 3\sqrt y - 6}} - \frac{{6 - \sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy} + 2\sqrt x + 3\sqrt y + 6}}\\ = \frac{{2\sqrt x + 3\sqrt y }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)}} - \frac{{6 - \sqrt {xy} }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2\sqrt x + 3\sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) - \left( {6 - \sqrt {xy} } \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x + 6\sqrt x + 3\sqrt {xy} + 9\sqrt y - \left( {6\sqrt x - 18 - x\sqrt y + 3\sqrt {xy} } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x + x\sqrt y + 9\sqrt y + 18}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \frac{{x + 9}}{{x - 9}}.\end{array}\)

b) Chứng minh rằng: Nếu \(K = \frac{{y + 81}}{{y - 81}}\) thì \(\frac{y}{x}\) là số nguyên chia hết cho \(3.\)

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,y \ge 0,\,\,\,x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}K = \frac{{y + 81}}{{y - 81}} \Rightarrow \frac{{x + 9}}{{x - 9}} = \frac{{y + 81}}{{y - 81}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 9} \right)\left( {y - 81} \right) = \left( {y + 81} \right)\left( {x - 9} \right)\\ \Leftrightarrow xy + 9y - 81x - 9.81 = xy - 9y + 81x - 9.81\\ \Leftrightarrow 9y = 81x\\ \Leftrightarrow \frac{y}{x} = \frac{{81}}{9} = 9.\end{array}\)

Vậy nếu \(K = \frac{{y + 81}}{{y - 81}}\) thì \(\frac{y}{x}\) là số nguyên chia hết cho 3.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link