Cho biểu thức: \(P = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} -

Câu hỏi số 206189:

Vận dụng cao

Cho biểu thức: \(P = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}.\)

a) Rút gọn biểu thức \(P.\) b) Tìm \(x\) để \(P < 1.\)

c) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nguyên.

A. a) \( P= {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 3}}.\)

b) \( 0 \le x < 9 \)

c) \(x \in \left\{ {1;\,\,16;\,\,25;\,\,49} \right\} \)

B. a) \( P= {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 3}}.\)

b) \( 0 < x < 9;\,\,\,x \ne 4 \)

c) \(x \in \left\{ {1;\,\,16;\,\,25;\,\,49} \right\} \)

C. a) \( P= {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 3}}.\)

b) \( 0 \le x < 9;\,\,\,x \ne 4 \)

c) \(x \in \left\{ {1;\,\,16;\,\,25;\,\,49} \right\} \)

D. a) \( P= {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 3}}.\)

b) \( 0 \le x < 9;\,\,\,x \ne 4 \)

c) \(x \in \left\{ {1;\,\,16;\,\,25} \right\} \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:206189

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.

b) Giải bất phương trình \(P < 1,\) tìm \(x\) sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

c) Biến đổi biểu thức \(P\) về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 5\sqrt x + 6 \ne 0\\\sqrt x - 2 \ne 0\\3 - \sqrt x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) \ne 0\\\sqrt x \ne 2\\\sqrt x \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\x \ne 9\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 4\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}\)

b) Tìm \(x\) để \(P < 1.\)

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}P < 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} < 1\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 3 < 0\,\,\,\\ \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow x < 9\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được \(0 \le x < 9;\,\,\,x \ne 4\) thì \(P < 1.\)

c) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) nguyên.

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\)

Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 4}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in Z\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 3} \right) \in U\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 3} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 3 = - 4\\\sqrt x - 3 = - 2\\\sqrt x - 3 = - 1\\\sqrt x - 3 = 1\\\sqrt x - 3 = 2\\\sqrt x - 3 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = - 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = 1\\\sqrt x = 2\\\sqrt x = 4\\\sqrt x = 5\\\sqrt x = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\,(ktm)\\x = 16\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 25\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 49\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x \in \left\{ {1;\,\,16;\,\,25;\,\,49} \right\}\) thì \(P\) nguyên.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link