Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3\left( {{{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{a^2}}}}
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3\left( {{{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{a^2}}}} \right) - 8\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có : \({\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)^2} = {{{a^2}} \over {{b^2}}} + 2{a \over b}.{b \over a} + {{{b^2}} \over {{a^2}}} = {{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{a^2}}} + 2 \Rightarrow {{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{a^2}}} = {\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)^2} – 2\)
Biến đổi biểu thức \(P\) về dạng \(P = 3{\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)^2} - 6 - 8\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right) = 3{\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)^2} - 8\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right) - 6\).
Đặt \(t = {a \over b} + {b \over a} \Rightarrow {t^2} = {\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)^2}\).
Áp dụng bất đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\,\,\forall x,y\) với hai số \({a \over b}\) và \({b \over a}\) ta có : \({t^2} = {\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)^2} \ge 4{a \over b}.{b \over a} = 4 \Leftrightarrow \left| t \right| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t \ge 2 \hfill \cr t \le - 2 \hfill \cr} \right.\)
Biểu thức \(P\) trở thành \(P = 3{t^2} - 8t - 6\).
Trục đối xứng \(x = - {b \over {2a}} = {4 \over 3}\) và hệ số a = 3 > 0.
Suy ra hàm số \(f\left( t \right) = 3{t^2} - 8t - 6\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,\,{3 \over 2}} \right)\) và đồng biến trên khoảng\(\left( {{3 \over 2};\,\, + \infty } \right)\).
BBT :
Từ đây suy ra hàm số f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = {3 \over 2}\)
Ta có \(f\left( {{3 \over 2}} \right) = - {{45} \over 4}\).
Vậy \(minP = min\,f\left( t \right) = - {{45} \over 4}\).
Đáp án cần chọn là: A
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
