Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3\left( {{{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{a^2}}}}
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3\left( {{{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{a^2}}}} \right) - 8\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có : \({\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)^2} = {{{a^2}} \over {{b^2}}} + 2{a \over b}.{b \over a} + {{{b^2}} \over {{a^2}}} = {{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{a^2}}} + 2 \Rightarrow {{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{a^2}}} = {\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)^2} – 2\)
Biến đổi biểu thức \(P\) về dạng \(P = 3{\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)^2} - 6 - 8\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right) = 3{\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)^2} - 8\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right) - 6\).
Đặt \(t = {a \over b} + {b \over a} \Rightarrow {t^2} = {\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)^2}\).
Áp dụng bất đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\,\,\forall x,y\) với hai số \({a \over b}\) và \({b \over a}\) ta có : \({t^2} = {\left( {{a \over b} + {b \over a}} \right)^2} \ge 4{a \over b}.{b \over a} = 4 \Leftrightarrow \left| t \right| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t \ge 2 \hfill \cr t \le - 2 \hfill \cr} \right.\)
Biểu thức \(P\) trở thành \(P = 3{t^2} - 8t - 6\).
Trục đối xứng \(x = - {b \over {2a}} = {4 \over 3}\) và hệ số a = 3 > 0.
Suy ra hàm số \(f\left( t \right) = 3{t^2} - 8t - 6\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,\,{3 \over 2}} \right)\) và đồng biến trên khoảng\(\left( {{3 \over 2};\,\, + \infty } \right)\).
BBT :
Từ đây suy ra hàm số f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = {3 \over 2}\)
Ta có \(f\left( {{3 \over 2}} \right) = - {{45} \over 4}\).
Vậy \(minP = min\,f\left( t \right) = - {{45} \over 4}\).
Đáp án cần chọn là: A
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
