Với \(k,n \in N,2 \le k \le n\) thì giá trị của biểu thức \(A = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} +

Câu hỏi số 210427:

Vận dụng cao

Với \(k,n \in N,2 \le k \le n\) thì giá trị của biểu thức \(A = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} \) \(+ C_n^{k - 4} - C_{n + 4}^k + 1\) bằng?

A. A = 0

B. A = 1

C. A = 3

D. A = -1

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:210427

Phương pháp giải

Đối với những bài toán tổng những tổ hợp có chỉ số trên và chỉ số dưới là những số tự nhiên liên tiếp ta sử dụng công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)

Giải chi tiết

Trước hết ta chứng minh công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)

\(\eqalign{ & VT = C_n^k + C_n^{k + 1} \cr & = {{n!} \over {k!\left( {n - k} \right)!}} + {{n!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}} \cr & = {{n!} \over {k!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {{1 \over {n - k}} + {1 \over {k + 1}}} \right) \cr & = {{n!} \over {k!\left( {n - k - 1} \right)!}}.{{k + 1 + n - k} \over {\left( {n - k} \right)\left( {k + 1} \right)}} \cr & = {{n!\left( {n + 1} \right)} \over {k!\left( {k + 1} \right)\left( {n - k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)}} \cr & = {{\left( {n + 1} \right)!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} = C_{n + 1}^{k + 1} = VP \cr} \)

Ta tính giá trị của biểu thức B sau đây:

\(\eqalign{ & B = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} \cr & \,\,\,\,\, = C_n^k + C_n^{k - 1} + 3\left( {C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2}} \right) + 3\left( {C_n^{k - 2} + C_n^{k - 3}} \right) + C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} \cr & \,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + 3C_{n + 1}^{k - 1} + 3C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3} \cr & \,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} + 2\left( {C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2}} \right) + C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3} \cr & \,\,\,\,\, = C_{n + 2}^k + 2C_{n + 2}^{k - 1} + C_{n + 2}^{k - 2} \cr & \,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2} \cr & \,\,\,\,\, = C_{n + 3}^k + C_{n + 3}^{k - 1} \cr & \,\,\,\,\, = C_{n + 4}^k \cr & \Rightarrow A = B - C_{n + 4}^k + 1 = C_{n + 4}^k - C_{n + 4}^k + 1 = 1 \cr} \)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.