Điều kiện để có bất đẳng thức \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \geqslant \dfrac{2}{{1

Câu hỏi số 210616:

Vận dụng cao

Điều kiện để có bất đẳng thức \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \geqslant \dfrac{2}{{1 + ab}}\) là:

A. \(ab \geqslant 1\)

B. \(ab < - 1\)

C. \(ab \ne - 1.\)

D. Đáp án A và B.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:210616

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Ta biến đổi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{2}{{1 + ab}} = \left( {\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{1}{{1 + ab}}} \right)\\ = \dfrac{{\left( {1 + ab} \right) - \left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} + \dfrac{{\left( {1 + ab} \right) - \left( {1 + {b^2}} \right)}}{{\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}}\\ = \dfrac{{a\left( {b - a} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} + \dfrac{{b\left( {a - b} \right)}}{{\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}}\\ = \dfrac{{b - a}}{{1 + ab}}\left( {\dfrac{a}{{1 + {a^2}}} - \dfrac{b}{{1 + {b^2}}}} \right)\\ = \dfrac{{b - a}}{{1 + ab}}\dfrac{{a\left( {1 + {b^2}} \right) - b\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}\\ = \dfrac{{b - a}}{{1 + ab}}\dfrac{{\left( {a - b} \right) + ab\left( {b - a} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}.\end{array}\)

Để \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \geqslant \dfrac{2}{{1 + ab}}\)đúng thì ta cần \(\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} - \dfrac{2}{{1 + ab}} \geqslant 0\)hay \(\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}} \geqslant 0\,\left( 1 \right).\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\\1 + {a^2} > 0\\1 + {b^2} > 0\end{array} \right.\)

nên \(\left( 1 \right)\) đúng khi và chỉ khi

\(\dfrac{{ab - 1}}{{ab + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {ab - 1} \right)\left( {ab + 1} \right)}}{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {ab - 1} \right)\left( {ab + 1} \right) \ge 0\\ab + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}ab \ge 1\\ab \le - 1\end{array} \right.\\ab \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ab \ge 1\\ab < - 1\end{array} \right.\)

Chọn đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link