Cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn \(x+2y+3z=6.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 212835:

Nhận biết

Cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn \(x+2y+3z=6.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(A=\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\) là:

A. 6

B. 9

C. 12

D. 15

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212835

Phương pháp giải

- Nhận thấy đề bài cho \(x+2y+3z=6\) nên cần làm cho \(A\) xuất hiện \(x+2y+3z\) bằng cách \(+1) vào mỗi phân thức.

- Sau đó áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\).

Giải chi tiết

Ta viết lại

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{2y + 3z + 5}}{{1 + x}} + 1} \right) + \left( {\frac{{3z + x + 5}}{{1 + 2y}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 2y + 5}}{{1 + 3z}} + 1} \right) - 3\\\,\,\,\,\, = \frac{{x + 2y + 3z + 6}}{{1 + x}} + \frac{{x + 2y + 3z + 6}}{{1 + 2y}} + \frac{{x + 2y + 3z + 6}}{{1 + 3z}} - 3\\\,\,\,\,\, = \left( {x + 2y + 3z + 6} \right)\left( {\frac{1}{{1 + x}} + \frac{1}{{1 + 2y}} + \frac{1}{{1 + 3z}}} \right) - 3.\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\) với \(a=1+x,b=1+2y,c=1+3z\) ta nhận được

\(A \ge \left( {x + 2y + 3z + 6} \right)\frac{9}{{\left( {1 + x} \right) + \left( {1 + 2y} \right) + \left( {1 + 3z} \right)}} - 3 = \frac{{9\left( {x + 2y + 3z + 6} \right)}}{{x + 2y + 3z + 3}} - 3 = \frac{{9.\left( {6 + 6} \right)}}{{6 + 3}} - 3 = 9\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}1 + x = 1 + 2y = 1 + 3z\\x + 2y + 3z = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y = 3z\\x + 2y + 3z = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Chọn đáp án B.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link