Cho \(a,b,c\) là độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) , gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác đó. Giả

Câu hỏi số 212834:

Nhận biết

Cho \(a,b,c\) là độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) , gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác đó. Giả sử rằng

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right).\) Khi đó kết luận nào sau đây là đúng

A. \(\Delta ABC\) đều

B. \(\Delta ABC\) vuông

C. \(\Delta ABC\) cân

D. \(\Delta ABC\) vuông cân

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212834

Phương pháp giải

nhận thấy vế phải có \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) nên ta cần đánh giá vế trái để xuất hiện \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) bằng cách dùng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\) và để ý \(2p=a+b+c\).

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\)với \(x=p-a,y=p-b\) với chú ý \(2p=a+b+c,\) ta có

\(\frac{1}{{p - a}} + \frac{1}{{p - b}} \ge \frac{4}{{\left( {p - a} \right) + \left( {p - b} \right)}} = \frac{4}{{2p - \left( {a + b} \right)}} = \frac{4}{{\left( {a + b + c} \right) - \left( {a + b} \right)}} = \frac{4}{c}\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Tương tự ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{p - a}} + \frac{1}{{p - c}} \ge \frac{4}{b}\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\frac{1}{{p - b}} + \frac{1}{{p - c}} \ge \frac{4}{a}\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế theo vế bất đẳng thức \(\left( 1 \right)-\left( 3 \right)\) ta có

\(2\left( {\frac{1}{{p - a}} + \frac{1}{{p - b}} + \frac{1}{{p - c}}} \right) \ge 4\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{{p - a}} + \frac{1}{{p - b}} + \frac{1}{{p - c}} \ge 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right).\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}p - a = p - b\\p - a = p - c\\p - b = p - c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a = c\\b = c\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c.\)

Khi đó \(\Delta ABC\) là tam giác đều.

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link