Cho \(a,b,c\ge 0,a+b+c=1.\) Thì\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}=\frac{1}{4}\) khi

Câu hỏi số 212837:

Nhận biết

A. \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

B. \(a=b=\frac{1}{2},c=0\)

C. \(a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{6}\)

D. \(a=0,b=c=\frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212837

Phương pháp giải

- Đánh giá \(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\ge \frac{1}{4}\) bằng cách khéo léo sử dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\ge \frac{1}{x+y}\).

- Dùng điều kiện xảy ra dấu \(=\) của bất đẳng thức để tìm \(a,b,c\)

Giải chi tiết

Ta viết lại

\(\begin{array}{l}\frac{1}{4} = \frac{{ab}}{{c + 1}} + \frac{{bc}}{{a + 1}} + \frac{{ca}}{{b + 1}} = \frac{{ab}}{{c + \left( {a + b + c} \right)}} + \frac{{bc}}{{a + \left( {a + b + c} \right)}} + \frac{{ca}}{{b + \left( {a + b + c} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{ab}}{{\left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {b + a} \right) + \left( {c + a} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {c + b} \right) + \left( {a + b} \right)}}.\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Rightarrow \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{1}{{x + y}}\) với \(x = \left( {a + c} \right),y = \left( {b + c} \right)\) ta nhận được

\(\frac{1}{{\left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right) \Rightarrow \frac{{ab}}{{\left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} \le \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right)\,\,\left( 1 \right).\)

Tương tự ta có

\(\frac{{bc}}{{\left( {b + a} \right) + \left( {c + a} \right)}} \le \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{b + a}} + \frac{1}{{c + a}}} \right)\,\,\left( 2 \right)\)

\(\frac{{ca}}{{\left( {c + b} \right) + \left( {a + b} \right)}} \le \frac{{ca}}{4}\left( {\frac{1}{{c + b}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\,\,\left( 3 \right).\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

\(\begin{array}{l}\frac{1}{4} = \frac{{ab}}{{\left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {b + a} \right) + \left( {c + a} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {c + b} \right) + \left( {a + b} \right)}}\\\,\,\,\, \le \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right) + \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{b + a}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) + \frac{{ca}}{4}\left( {\frac{1}{{c + b}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\\\,\,\,\, = \frac{{ab + bc}}{{4\left( {a + c} \right)}} + \frac{{ab + ca}}{{4\left( {c + b} \right)}} + \frac{{bc + ca}}{{4\left( {a + b} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{b\left( {a + c} \right)}}{{4\left( {a + c} \right)}} + \frac{{a\left( {c + b} \right)}}{{4\left( {c + b} \right)}} + \frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{4\left( {a + b} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{1}{4}\left( {a + b + c} \right) = \frac{1}{4}.\end{array}\)

Dấu bằng đạt được khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c = b + c\\b + a = c + a\\c + b = a + b\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}.\)

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link