Cho \(a,b,c\in \mathbb{R}\) thỏa mãn \(ab-ac+bc=-1.\) Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 212843:

Nhận biết

Cho \(a,b,c\in \mathbb{R}\) thỏa mãn \(ab-ac+bc=-1.\) Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(M={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\) đạt được tại

A. \(a=c=\frac{1}{\sqrt{3}},b=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

B. \(a=c=-\frac{1}{\sqrt{3}},b=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

C. Đáp án A.B đều sai

D. Đáp án A,B đều đúng.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212843

Phương pháp giải

Áp dụng các bất đẳng thức \({{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 0;{{\left( a-c \right)}^{2}}\ge 0;{{\left( b+c \right)}^{2}}\ge 0\) để đánh giá \(M\) làm xuất hiện \(ab-ac+bc\)

Giải chi tiết

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^2} \ge 0\\{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {b + c} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge - 2ab\\{a^2} + {c^2} \ge 2ac\\{b^2} + {c^2} \ge - 2bc\end{array} \right..\)

Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên ta nhận được

\(2M \ge - 2ab + 2ac + \left( { - 2bc} \right) = - 2\left( {ab - ac + bc} \right) = 2 \Rightarrow M \ge 1.\)

Giá trị nhỏ nhất đạt được tại

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a - c = 0\\b + c = 0\\ab - ac + bc = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - b\\a = c\\b = - c\\ab - ac + bc = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c = - b\\ - {a^2} - {a^2} - {a^2} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c = - b\\3{a^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c = - b\\a = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\b = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = c = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\b = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link