Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(2x+2y+xy\ge 12.\) Giả sử rằng \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}.\) Khi đó

Câu hỏi số 212842:

Nhận biết

A. \(P\ge 10\)

B. \(P\ge 51\)

C. \(P\ge 8\)

D. \(P\ge 14\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212842

Phương pháp giải

- Phân tích đề: đề bài cho \(2x+2y+xy\ge 12\) nên cần đánh giá \(P\) để làm xuất hiện \(2x+2y+xy\)

- Áp dụng các bất đẳng thức \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy\) và \({{x}^{2}}\ge 4x-4;{{y}^{2}}\ge 4y-4\).

Giải chi tiết

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x\\{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall y\\{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x,y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 4x - 4,\,\,\forall x\\{y^2} \ge 4y - 4,\,\,\forall y\\{x^2} + {y^2} \ge 2xy,\,\,\forall x,y\end{array} \right..\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có

\(2P = {x^2} + {y^2} + \left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge \left( {4x - 4} \right) + \left( {4y - 4} \right) + \left( {2xy} \right) = 2\left( {2x + 2y + xy} \right) - 8 \ge 2.12 - 8 = 16.\)

Vì vậy \(P \ge 8.\)

Chọn đáp án C.

Chú ý khi giải

Các bạn có thể làm bài toán tổng quát hơn như sau:

Cho các hằng số \(\alpha ,\beta ,\lambda >0\) và \(x,y>0\) thỏa mãn \(\alpha x+\beta y+2xy=\lambda .\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M={{x}^{2}}+{{y}^{2}}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link