Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(2x+2y+xy\ge 12.\) Giả sử rằng \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}.\) Khi đó

Câu hỏi số 212842:

Nhận biết

A. \(P\ge 10\)

B. \(P\ge 51\)

C. \(P\ge 8\)

D. \(P\ge 14\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212842

Phương pháp giải

- Phân tích đề: đề bài cho \(2x+2y+xy\ge 12\) nên cần đánh giá \(P\) để làm xuất hiện \(2x+2y+xy\)

- Áp dụng các bất đẳng thức \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy\) và \({{x}^{2}}\ge 4x-4;{{y}^{2}}\ge 4y-4\).

Giải chi tiết

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x\\{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall y\\{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x,y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 4x - 4,\,\,\forall x\\{y^2} \ge 4y - 4,\,\,\forall y\\{x^2} + {y^2} \ge 2xy,\,\,\forall x,y\end{array} \right..\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có

\(2P = {x^2} + {y^2} + \left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge \left( {4x - 4} \right) + \left( {4y - 4} \right) + \left( {2xy} \right) = 2\left( {2x + 2y + xy} \right) - 8 \ge 2.12 - 8 = 16.\)

Vì vậy \(P \ge 8.\)

Chọn đáp án C.

Chú ý khi giải

Các bạn có thể làm bài toán tổng quát hơn như sau:

Cho các hằng số \(\alpha ,\beta ,\lambda >0\) và \(x,y>0\) thỏa mãn \(\alpha x+\beta y+2xy=\lambda .\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M={{x}^{2}}+{{y}^{2}}.\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link