Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(a+b+c=3.\) Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu hỏi số 213479:

Thông hiểu

Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(a+b+c=3.\) Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\) là:

A. \(\sqrt{2}\)

B. \(2\sqrt{2}\)

C. \(4\sqrt{2}\)

D. \(3\sqrt{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213479

Phương pháp giải

Phương pháp:

Dùng kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng \(xy\le \frac{x+y}{2}\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( \sqrt{a+b},\sqrt{2} \right)\) ta nhận được

\(\sqrt{a+b}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{a+b}\sqrt{2}\le \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{a+b+2}{2}\,\,\left( 1 \right).\)

Chứng minh tương tự ta có \(\sqrt{b+c}\le \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{b+c+2}{2}\,\,\left( 2 \right),\)

\(\sqrt{c+a}\le \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{c+a+2}{2}\,\,\left( 3 \right).\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)\) ta nhận được

\(P\le \frac{\left( a+b+2 \right)+\left( b+c+2 \right)+\left( c+a+2 \right)}{2\sqrt{2}}=\frac{2\left( a+b+c \right)+6}{2\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & a+b=2 \\ & b+c=2 \\ & c+a=2 \\ & a+b+c=3 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c=1.\)

Chọn đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link