Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh là \(a,b,c.\) Giả sử rằng

Câu hỏi số 213487:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh là \(a,b,c.\) Giả sử rằng \(P=\frac{a}{-a+b+c}+\frac{b}{a-b+c}+\frac{c}{a+b-c}.\) Khi đó điều nào sau đây là đúng:

A. \(P\ge 3\)

B. \(P=3\) khi và chỉ khi \(\Delta ABC\) đều

C. \(P<3\)

D. \(A,B\) đều đúng.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213487

Phương pháp giải

Phương pháp:

Đổi biến \(\left\{\begin{align} & x=-a+b+c \\ & y=a-b+c \\ & z=a+b-c \\ \end{align} \right.\) đưa bài toán về dạng quen thuộc và sử dụng kĩ thuật tách nghịch đảo \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Đổi biến, ta đặt \(\left\{\begin{align} & x=-a+b+c \\ & y=a-b+c \\ & z=a+b-c \\ \end{align} \right..\)

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{align} & a=\frac{y+z}{2} \\ & b=\frac{z+x}{2} \\ & c=\frac{x+y}{2} \\ \end{align} \right..\) Thay biểu thức trên vào \(P\) ta được

\(\begin{align}& P=\frac{\frac{y+z}{2}}{-\left( \frac{y+z}{2} \right)+\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}}+\frac{\frac{x+z}{2}}{\frac{y+z}{2}-\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}}+\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}-\frac{x+y}{2}} \\ & \,\,\,\,=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z} \\ & \,\,\,\,=\frac{1}{2}\left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{y}{z}+\frac{z}{y} \right)\,\,\left( 1 \right). \\ \end{align}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( \frac{x}{y},\frac{y}{x} \right),\left( \frac{x}{z},\frac{z}{x} \right),\left( \frac{y}{z},\frac{z}{y} \right)\) ta nhận được \(\left\{ \begin{align}& \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2 \\ & \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}=2 \\ & \frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge 2\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2 \\ \end{align} \right.\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta nhận được \(P\ge \frac{1}{2}.2+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2}.2=3.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{\begin{align} & \frac{x}{y}=\frac{y}{x} \\ & \frac{x}{z}=\frac{z}{x} \\ & \frac{y}{z}=\frac{z}{y} \\ & x,y,z>0 \\ \end{align} \right.\,\,\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c.\)

Vậy đáp án A, B đều đúng.

Chọn đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link